BÀI TẬP GIẢI TÍCH A1 Ts. Lê Xuân Đại Ngày 7 tháng 7 năm 2011 Mục lục 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3 1.1 khái niệm dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa hàng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 tính chất của hàng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 giới hạn của hàng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 gần như khái niệm cơ bạn dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 đặc thù của số lượng giới hạn hữu hạn của hàng số . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 giới hạn vô cùng của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5 mối quan hệ giữa số lượng giới hạn riêng và giới hạn của hàng số quy tụ . . . . 6 1.3 giới hạn của dãy đối chọi điệu. Định lý Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Các cách thức tìm số lượng giới hạn của hàng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Dùng biến đổi đại số nhằm tìm số lượng giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 sử dụng định lý kẹp giữa tìm số lượng giới hạn của hàng số . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Sử dụng số lượng giới hạn cơ phiên bản lim n→+∞ q n = 0, |q| 0 nhằm tìm giới hạn của dãy 11 1.4.5 dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại số lượng giới hạn của dãy 1-1 điệu . . 11 1.4.6 Tìm giới hạn của hàng số dùng số lượng giới hạn cơ phiên bản lim n→∞ (1 + u n ) 1 u n = e, biết rằng khi n → ∞ thì u n → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.7 Dùng quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của hàng số để minh chứng dãy số phân kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 17 2.1 giới hạn của hàm số trên một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 giới hạn của hàm số từ một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 2.3 số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 số lượng giới hạn vô cùng của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 giới hạn vô thuộc của hàm số trên điểm cực kì . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 giới hạn vô cùng nhỏ bé của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 giới hạn vô cùng lớn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.8 tính chất của hàm vô cùng nhỏ xíu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trăng tròn 2.9 số lượng giới hạn của hàm vừa lòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.10 Những giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . đôi mươi 2.11 đối chiếu hàm vô cùng bé bỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.12 đa số hàm vô cùng nhỏ xíu tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.13 đối chiếu hàm vô cùng bự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14 bài xích tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.14.1 Tìm số lượng giới hạn của hàm một biến bằng phương pháp thay vô cùng nhỏ bé tương đương 22 2.14.2 so sánh những hàm vô cùng nhỏ xíu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.14.3 Tìm số lượng giới hạn của hàm một biến bằng cách thay hết sức lớn tương tự 24 2.14.4 đối chiếu những vô cùng phệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.14.5 Tìm giới hạn của hàm một phát triển thành dùng số lượng giới hạn cơ bản lim x→0 (1+u(x)) 1 u(x) = e, biết rằng khi x → a thì u(x) → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.14.6 Tìm số lượng giới hạn của biểu thức có dạng f(x) g(x) khi x → a . . . . . . . . 25 2 Chương 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 tư tưởng dãy số 1.1.1 Định nghĩa hàng số Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ f : N −→ R tự tập vừa lòng số tự nhiên và thoải mái lên tập đúng theo số thực R được hotline là hàng số. Hàng số được kí hiệu là (x n ). 1.1.2 đặc điểm của hàng số 1. Tính tăng với tính giảm. Định nghĩa 1.1.2 dãy số (x n ) được call là hàng tăng (dãy giảm) nếu như như với tất cả n ∈ N luôn luôn có bất đẳng thức x n 0 bắt buộc ta chỉ việc chứng minh x n+1 x n > 1. Ta gồm x n+1 x n = (1 + 1 n+1 ) n+1 (1 + 1 n ) n = ( n+2 n+1 ) n+1 ( n+1 n ) n =  n+2 n+1 n+1 n  n+1 . N + 1 n =  n 2 + 2n n 2 + 2n + 1  n+1 . N + 1 n =  1 − 1 (n + 1) 2  n+1 . N + 1 n >  1 − 1 n + 1  . N + 1 n = n n + 1 . N + 1 n = 1 (Bất đẳng thức Bernuli.) minh chứng rằng, trường hợp số h > −1 với h = 0 thì luôn có bất đẳng thức (1 + h) n > 1 + nh với đa số số thoải mái và tự nhiên n  2. để ý rằng vệt đẳng thức bao gồm được là do dùng bất đẳng thức Bernuli. Như vậy x n 0 buộc phải ta chỉ cần chứng minh x n x n+1 > 1. Ta gồm x n x n+1 = (1 + 1 n ) n+1 (1 + 1 n+1 ) n+2 = ( n+1 n ) n+1 ( n+2 n+1 ) n+2 =  n+1 n n+2 n+1  n+2 . N n + 1 =  n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n  n+2 . N n + 1 =  1 + 1 n(n + 2)  n+2 . N n + 1 >  1 + 1 n  . N n + 1 = n + 1 n . N n + 1 = 1. Chú ý rằng vệt bất đẳng thức bao gồm được là vì dùng bất đẳng thức Bernuli. Do vậy x n > x n+1  2. Tính bị chặn. Định nghĩa 1.1.3 dãy số (x n ) ⊂ R được call là bị chặn trên (dưới), nếu như lâu dài số ∃M ∈ R (m ∈ R), làm sao cho với gần như ∀n ∈ N luôn có x n  M(x n  m). Số M (m) được hotline là cận bên trên (cận dưới) của hàng (x n ). Định nghĩa 1.1.4 hàng số (x n ) ⊂ R được gọi là bị chặn, nếu như nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa là nếu như tồn tại số ∃M, m ∈ R sao cho với phần đa ∀n ∈ N luôn có m  x n  M. Định nghĩa 1.1.5 dãy số (x n ) ⊂ R được gọi là không bị chặn trên (dưới), ví như như với đa số số ∀M ∈ R (m ∈ R), mãi mãi số hạng của hàng số x n 0 sao cho x n 0 > M (x n 0 0 ví dụ 1.1.4 dãy số x n = (1 + 1 n ) n , (n ∈ N) bị ngăn dưới vì số m = 0 cùng bị chặn trên bởi số M = 4. Hội chứng minh. Với mọi ∀n ∈ N luôn có x n > 0, với x n = (1 + 1 n ) n 0 trường thọ số N = N(ε) sao để cho với các ∀n > N luôn có bất đẳng thức |x n − a| n 0 với lim n→∞ y n = lim n→∞ z n = a thì lim n→∞ x n = a. 1.2.3 giới hạn vô cùng của hàng số Định nghĩa 1.2.4 Số +∞(−∞; ∞) được gọi giới hạn của dãy số (x n ) ⊂ R, trường hợp như với đa số ∀M > 0 lâu dài số N = N(M) >) làm thế nào để cho với những ∀n > N luôn luôn có bất đẳng thức x n > M(x n M). 5 1.2.4 Dãy bé Định nghĩa 1.2.5 mang lại dãy số (x n ) ⊂ R cùng n 1 n 0 và lim n→∞ y n = lim n→∞ z n = a thì lim n→∞ x n = a. Bài bác 1.4.7 Tìm giới hạn lim n→∞ 1 + 2 2 + . . . + n n n n . Giải. Đặt a n = 1 + 2 2 + . . . + n n n n . Lúc ấy ta có một = n n n n  a n  n 1 + n 2 + . . . + n n n n = n n+1 − n (n − 1)n n = n n − 1 n n . N n − 1 n 2 4 , ∀n ∈ N. Vì vậy 0 1 ta tất cả n > n(n+1) 2 ( n √ n−1) 2 . Vày đó với đa số ∀n > 1, 0 1. Giải. Theo phương pháp nhị thức Newton ta có a = (1 + ( n √ a − 1)) n = 1 + n( n √ a − 1) + n(n + 1) 2 ( n √ a − 1) 2 + . . . + ( n √ a − 1) n . Cùng với a > 1 ta có a > n( n √ a − 1). Cho nên vì thế 0 1, vì thế 1 |q| = 1 + h, h > 0. Từ đó theo bất đẳng thức Bernouli ta có 1 |q| n = (1 + h) n > 1 + nh > nh ⇒ 0 1. Giải. Theo bí quyết nhị thức Newton ta gồm a n = (1 + (a − 1)) n = 1 + n(a − 1) + n(n + 1) 2 (a − 1) 2 + . . . + (a − 1) n . Cùng với a > 1 ta bao gồm a n > n(n+1) 2 (a − 1) 2 . Cho nên vì vậy 0 an dãy an bị ngăn trên đúng vậy 1 1 1 1 1 1 an = + 2 + + n 11 bài 1. 4.20 chứng minh rằng hàng an = 1 1 1 + + n hội tụ + 2 5 +1 5 +1 5 +1 Giải dãy an là dãy đối chọi điệu tăng thiệt vậy, vì an +1 = an + 1 5n +1 +1 cần an +1 > an hàng an bị chặn trên quả thật như vậy an = 1 1 1 1 1 1 + 2 + + n 0, a = 1) x→0 x ln a 3 lim ln (1 + x) =1 x→0 x 4 lim ax − 1 = ln a(a > 0, a = 1) x→0 x 5 lim ex − 1 =1 x→0 x 6 lim (1 + x)µ − 1 = µ(µ ∈ R) x→0 x √ n 1+ x 1 1 8 lim = n (n ∈ N) x→0 x √ 1+ x 1 9 lim =1 2 x→0 x 7 lim đôi mươi 2 .11 đối chiếu hàm vô cùng nhỏ xíu Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập xác minh X ⊂ R... Vì chưng lim ( 1) n α n→+∞ n Sử dụng giới hạn cơ bạn dạng lim 1. 4.4 = 0, α > 0 để tìm giới hạn của hàng 1 ( 1) n + n bài 1. 4 .19 Tìm giới hạn lim 1 n→∞ 2 − ( 1) n n Giải phân tách tử số và chủng loại số đến ( 1) n ta bao gồm an = cho nên vì vậy lim an = lim n→∞ 1. 4.5 n→∞ 1+ ( 1) n n ( 1) n n2 1 1+ ( 1) n n ( 1) n n2 1 ( 1) n ( 1) n = lim = 0 n→∞ n→∞ n n2 = 1 vì lim cần sử dụng định lý Weierstrass về sự việc tồn tại số lượng giới hạn của dãy đơn điệu Định lý 1. 4.2 Nếu...( 1) n , α>0 n→+∞ nα bài bác 1. 4 .13 I = lim Giải với α > 0 ta gồm ( 1) n nα 1 nα 1 nα 1 1 = lim α = 0 phải I = 0 α n→∞ n n→∞ n ngoài ra lim Sử dụng giới hạn cơ bản lim q n = 0, |q| 1 bài 1. 4 .17 Tìm giới hạn lim Giải chia tử số và mẫu mã số cho (−6)n ta có 1 an = 1 5.5n (−6)n 5n −6 cho nên vì thế lim an = lim n→∞ n→∞ (−6)n =− 5.5n (−6)n 5n (−6)n −6 1 5n bởi vì lim = 0 n→∞ (−6)n 6 2n + 3−n n→∞ 2−n − 3n bài xích 1. 4 .18 Tìm số lượng giới hạn lim Giải chia tử số và chủng loại số mang lại 3n ta tất cả 2n + 91 n 3n 1 1 6n an = cho nên vì thế lim an = n→∞ 2n 1 n + n lim 3 1 9 n→∞ n − 1 6 2n 1 1 = lim n = . Minh x n +1 x n > 1. Ta tất cả x n +1 x n = (1 + 1 n +1 ) n +1 (1 + 1 n ) n = ( n+2 n +1 ) n +1 ( n +1 n ) n =  n+2 n +1 n +1 n  n +1 . N + 1 n =  n 2 + 2n n 2 + 2n + 1  n +1 . N + 1 n =  1 − 1 (n + 1) 2  n +1 . N + 1 n >  1. Minh x n x n +1 > 1. Ta có x n x n +1 = (1 + 1 n ) n +1 (1 + 1 n +1 ) n+2 = ( n +1 n ) n +1 ( n+2 n +1 ) n+2 =  n +1 n n+2 n +1  n+2 . N n + 1 =  n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n  n+2 . N n + 1 =  1 + 1 n(n +. Lim n→∞ n 2 (n 2 + 1) − n 3 (n + 1) (n + 1) (n 2 + 1) = lim n→∞ n 2 − n 3 (n + 1) (n 2 + 1) = lim n→∞ 1 n − 1 (1 + 1 n ) (1 + 1 n 2 ) = 1.


Bạn đang xem: Tìm giới hạn của hàm số giải tích 1


Xem thêm: Tín Chỉ Là Gì? 1 Tín Chỉ Là Bao Nhiêu Tháng 1 Năm Đại Học Có Bao Nhiêu Tín Chỉ

Bài xích 1. 4.2 Tìm giới hạn I = lim n→∞ (n + 1) 4 − (n − 1) 4 (n 2 + 1) 2 −