Nắm vững các quy tắc so sánh hai lũy thừa, hai logarit thuộc cơ số không chỉ giúp bạn giải quyết và xử lý các câu hỏi về đối chiếu lũy thừa, logarit mà còn là công cụ hữu dụng và mau lẹ để giải những bất phương trình mũ tuyệt logarit dạng đối kháng giản.

Bạn đang xem: So sánh log

*

Qua vấn đề phân tích, tổng hợp những quy tắc đối chiếu hai lũy thừa cùng hai logarit thuộc cơ số, nội dung bài viết rút ra quy tắc so sánh dùng chung cho tất cả hai và phát biểu nó dưới dạng khẩu-quyết hỗ trợ cho việc ghi nhớ và vận dụng quy tắc được thuận lợi và hiệu quả.

1. So sánh hai lũy thừa thuộc cơ số

Ở các lớp THCS, học viên đã được học quy tắc về so sánh hai lũy thừa thuộc cơ số và quy tắc này được hoàn thành thành định lí tường minh trong SGK Giải tích lớp 12.1

Định lí

Trong nhì lũy thừa cùng cơ số lớn hơn 1, lũy vượt nào tất cả số mũ lớn hơn thế thì lớn hơn và ngược lại

*
y \Leftrightarrow a^x > a^y" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="128" style="vertical-align: -4px;"/>

Trong hai lũy thừa thuộc cơ số nhỏ rộng 1, lũy thừa nào gồm số nón lớn hơn vậy thì lại nhỏ tuổi hơn cùng ngược lại

*
y \Leftrightarrow a^x

Quan gần kề và đối chiếu chiều của số mũ với chiều của lũy quá trong từng trường hòa hợp cơ số lớn hơn 1 và cơ số bé dại hơn 1. Họ thấy rằng, lúc cơ số lớn hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó cùng chiều, còn lúc cơ số nhỏ tuổi hơn 1 thì nhị bất đẳng thức đó ngược chiều. Vì đó, ta rất có thể phát biểu đặc thù này dưới dạng khẩu quyết gọn ghẽ là


Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều. Cơ số nhỏ hơn 1 thì ngược chiều2

Hãy xem khẩu quyết bên trên được vận dụng ra sao trong các bài toán.


Ví dụ 1. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số sau

*
cùng
*


Nhận xét: hai lũy thừa thuộc cơ số
*
*
4^x-1" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="125" style="vertical-align: -1px;"/>


Phân tích

* việc giải bất phương trình trên rất có thể xem như thể bài toán đối chiếu hai lũy thừa.

* tuy nhiên, chúng ta chỉ tất cả quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, trong lúc lũy thừa sinh hoạt mỗi vế không cùng cơ số nên đầu tiên ta cần biến đổi hai lũy vượt về cùng một cơ số, tiếp nối áp dụng quy tắc tốt khẩu quyết so sánh trên.

* dễ thấy rằng,

*
vì thế bất phương trình đã cho tương tự với

*
2^2(x-1)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="142" style="vertical-align: 0px;"/>

* thời điểm này, bọn họ có hai lũy thừa cùng cơ số to hơn 1 đề xuất (cùng chiều) lũy thừa nào lớn hơn vậy thì số mũ lớn hơn. Suy ra

*
2(x-1)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="175" style="vertical-align: -4px;"/>

* Bất phương trình đã cho quy về một bất phương trình bậc hai thân thuộc và câu hỏi được giải.

Lời giải

*
4^x-1 \Leftrightarrow 2^x^2+3x-4>2^2(x-1)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="295" style="vertical-align: -1px;"/>

*
2(x-1)\Leftrightarrow x^2 + x - 2 > 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="339" style="vertical-align: -4px;"/>

*

Bình luận

– Trong giải thuật ví dụ 2, bọn họ đã đưa hai lũy thừa về thuộc cơ số 2, chúng ta cũng có thể đưa về một thuộc cơ số khác 2 được không? ví dụ như 4 giỏi 8 tuyệt

*
,…

– trong những khi ví dụ trước tiên đã cho thấy thêm chiều số mũ và đề nghị tìm chiều lũy vượt thì ví dụ nhị hỏi ngược lại, cho thấy chiều lũy vượt và bắt buộc tìm chiều số mũ. Tuy nhiên, dù việc có cho “kiểu gì đi chăng nữa”: cho biết chiều số mũ bắt buộc tìm chiều lũy thừa tuyệt ngược lại, thì họ cứ nắm rõ khẩu quyết “Lớn hơn 1 thì thuộc chiều, nhỏ tuổi hơn 1 thì ngược chiều” là đều rất có thể giải được hết!

Tiếp theo họ cùng mày mò quy tắc so sánh hai logarit cùng cơ số với cách áp dụng nó.

2. So sánh hai logarit thuộc cơ số

Trước tiên, chúng ta cần sáng tỏ cơ-số với đối-số trong kí hiệu logarit:

*

Trong kí hiệu trên,

*
được hotline là cơ số còn
*
được gọi là đối số của logarit và điều kiện của chúng là
*

Sau đây là nội dung định lí so sánh hai logarit thuộc cơ số, được ra mắt trong SGK Giải tích 12 Nâng cao3 trang 84.

Định lí

Trong nhị logarit cùng cơ số lớn rộng 1, logarit nào bao gồm đối số lớn hơn nữa thì lớn hơn cùng ngược lại

*
y \Leftrightarrow \log_a x > \log_a y" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="181" style="vertical-align: -4px;"/>

Trong nhì logarit cùng cơ số nhỏ hơn 1, logarit nào gồm đối số lớn hơn vậy thì lại nhỏ hơn và ngược lại

*
y \Leftrightarrow \log_a x

Quan liền kề và so sánh chiều của đối số cùng với chiều của logarit vào từng trường phù hợp cơ số lớn hơn 1 cùng cơ số nhỏ tuổi hơn 1. Bọn họ thấy rằng, lúc cơ số to hơn 1 thì nhì bất đẳng thức đó thuộc chiều, còn khi cơ số nhỏ hơn 1 thì hai bất đẳng thức đó ngược chiều. Có thể thấy, định lí này “giống hệt” định lí về so sánh hai lũy thừa thuộc cơ số. Vày đó, ta rất có thể phát biểu đặc điểm này dưới dạng khẩu quyết ngắn gọn là


Cơ số lớn hơn 1 thì cùng chiều. Cơ số bé dại hơn 1 thì ngược chiều4

Xét một vài ba ví dụ để hiểu rộng về khẩu quyết này, “cứ to hơn 1 thì cùng chiều, nhỏ tuổi hơn 1 thì ngược chiều”.


Ví dụ 3. Không cần sử dụng máy tính, hãy đối chiếu hai số sau

*
*


Phân tích

– nhì logarit thuộc cơ số 1" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"/> buộc phải (cùng chiều) logarit nào tất cả đối số lớn hơn vậy thì lớn hơn. Do đó ta cần đối chiếu tiếp nhị đối số của chúng.

– hai logarit

*
với
*
thuộc cơ số

Lời giải

* bởi cơ số

* bởi cơ số 1" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"/> và

*
\log_0.1 0.3" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="158" style="vertical-align: -5px;"/> đề nghị
*
\log_\pi\left (\log_0.1 0.3\right )" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="255" style="vertical-align: -5px;"/>


Ví dụ 4. Giải bất phương trình

*

* Kết phù hợp với điều kiện:

*
0, x^2 + 6x + 8>0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="220" style="vertical-align: -4px;"/>, bất phương trình vẫn cho tương đương với hệ:

*
0 \\ x^2 + 6x + 8>0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\endcases" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="75" width="183" style="vertical-align: -33px;"/>

* Giải hệ bất phương trình bậc nhì trên ta tìm được nghiệm của bất phương trình đã cho

Lời giải

*
4x + 11\endcases" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="75" width="495" style="vertical-align: -33px;"/>

*
0 \\ x^2 + 6x + 8 > 4x + 11\endcases \Leftrightarrow \begincasesx > -\frac114 \\ x^2 + 2x -3 > 0\endcases" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="54" width="391" style="vertical-align: -23px;"/>

*
-\frac114 \\ x 1\endcases \Leftrightarrow x > 1" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="54" width="245" style="vertical-align: -23px;"/>

Bình luận

– Khi chạm chán các biểu thức chứa logarit, bạn luôn nhớ đặt đk có nghĩa cho tất cả cơ số cùng đối số.

– có thể thấy quy tắc đối chiếu hai logarit thuộc cơ số hoàn toàn giống quy tắc so sánh hai lũy thừa thuộc cơ số. Chỉ bao gồm một điểm khác nho nhỏ: đối số của logarit tương xứng với số nón của lũy thừa.

3. để ý học với dạy

– Khi gặp gỡ các bài bác toán tương quan đến đối chiếu hai lũy thừa, hai logarit không cùng cơ số thì gồm thể đổi khác về và một cơ số rồi áp dụng quy tắc đối chiếu trên.

– các quy tắc đối chiếu hai lũy thừa cùng hai logarit thuộc cơ số đều rất có thể phát biểu thành 1 nguyên tắc chung:

“Cơ số to hơn 1 thì thuộc chiều, cơ số nhỏ tuổi hơn 1 thì ngược chiều”

– Học dứt các quy tắc so sánh trên là học sinh rất có thể giải được đa phần các bài tập về phương trình, bất phương trình mũ và logarit, phải giáo viên hoàn toàn có thể khuyến khích, phía dẫn học viên tự đọc với làm các bài tập về phần này. Điều đó không chỉ có tạo điều kiện phát huy tính tích cực, tự học cho học sinh mà còn là một cách củng cố những quy tắc đối chiếu trên cũng như các kỹ năng và kiến thức về lũy thừa với logarit một giải pháp hiệu quả.

– bởi SGK Giải tích 12 chương trình chuẩn không giới thiệu định lí đối chiếu hai logarit cùng cơ số, trong khi đó là một nội dung yêu cầu được ghi trong chuẩn kiến thức khả năng nên khi huấn luyện Bài 3. Logarit gia sư cần chú ý điều này và giới thiệu định lí trên mang đến học sinh.

Xem thêm: - Aholic Meaning

P/s: Mời bạn đón đọc bài viết tiếp theo, về “Khẩu quyết xét vết logarit“.