PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG OXYZ

Hình học giải tích là một kiến thức khá mới và thú vị trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, hôm nay Chúng Tôi muốn chia sẻ đến các bạn hướng dẫn giải toán nâng cao 12 cho một số dạng bài tập hay bắt gặp trong các đề thi, mà tập trung chính sẽ là chủ đề phương trình mặt phẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi tính vận dụng cao, ngoài kiến thức cơ bản, cũng yêu cầu sự kết hợp nhuần nhuyễn và linh hoạt các công thức mới có thể giải được. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:

+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu ta biết VTPT của nó và một điểm nó đi qua.

Bạn đang xem: Phương trình mặt phẳng oxyz

+ Nếu hai vecto


là một VTPT của (α).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

+ Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng sau: Ax+ By+Cz+D=0 (với A²+B²+C²0)

+ Khi đó vecto (A,B,C) được xem là VTPT của mặt phẳng.

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0,y0,z0) và xem vecto (A,B,C) 0 là VTPT là:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax+ By+Cz+D=0

(với A²+B²+C²0):

+ Nếu D=0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

+ Nếu A=0, BC0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.

+ Nếu B=0, AC0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy

+ Nếu C=0, AB0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz.

+ Nếu A=B=0, C0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oxy)

+ Nếu B=C=0, A0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oyz)

+ Nếu A=C=0, B0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oxz)

Như vậy ta rút ra nhận xét:

+ Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì mặt phẳng (α) sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng (ví dụ A=0, tức là thiếu ẩn x, kết quả là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox).

+ Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: x/a +y/b + z/c=1. ở đây, mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ (a,0,0); (0,b,0) và (0,0,c) (với abc0)

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho (α): Ax+By+Cz+D=0 và (β): Ax+By+Cz+D=0, khi đó:

+ (α) song song (β):

+ (α) trùng (β):

+ (α) cắt (β): chỉ cần

Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: cho mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 và điểm M(x0,y0,z0), lúc này khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức:

II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.

Dạng 1: viết phương trình khi biết 1 điểm và VTPT. Dạng này có thể biến tấu bằng cách cho trước 1 điểm và một phương trình mặt phẳng khác song song với phương trình mặt phẳng cần tìm.

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có VTPT, áp dụng thêm lưu ý hai mặt phẳng song song thì có cùng VTPT.

VD: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;-2) và VTPT (1;-1;2)?

Hướng dẫn:

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

Phương pháp:

Mấu chốt vấn đề là ta phải tìm được VTPT của mặt phẳng, vì đã biết trước được một điểm mà mặt phẳng đi qua rồi (A, B và C).

Do A, B, C cùng nằm trên mặt phẳng nên AB, AC là hai đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng, lúc này:

Trường hợp này có thể biến tấu bằng cách thay vì cho 3 điểm cụ thể, bài toán sẽ cho 2 đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng cần tìm. Cách làm là tương tự, thay các vecto AB, AC bằng các vecto chỉ phương của mặt phẳng, ta sẽ tìm được VTPT. Sau đó, chọn 1 điểm bất kì trên 1 đường thẳng là ta lại quay về dạng 1.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1;0;-2), B(1;1;1) và C(0;-1;2).

Hướng dẫn:

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.

Phương pháp:

Do (α) song song (β) nên mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax+By+Cz+D=0.

Sử dụng công thức khoảng cách để tìm D.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x+2y-2z+1=0 và cách điểm M(1;-2;1) một khoảng là 3.

Hướng dẫn:

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước.

Phương pháp:

Ta tìm tọa độ tâm I của (S). Do (α) tiếp xúc (S) nên ta sẽ tìm tọa độ tiếp điểm, gọi tiếp điểm là M. Có được điểm đi qua, VTPT lại là vecto MI thì ta dễ dàng áp dụng như dạng 1.

Nếu bài toán không cho tiếp điểm mà ta chỉ có thể tìm được VTPT dựa vào 1 số dữ kiện ban đầu, lúc này phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.

Ví dụ: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x+2y-2z+1=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x²+y²+z²+2x-4y-2z-3=0.

Hướng dẫn:

III. Giải toán nâng cao 12 Các bài tập tự luyện.

Đáp án:

1

2

3

4

5

6

A

B

D

A

D

A