Nhiều hệ thống vật lý phức tạp được biểu diễn bởi phương trình vi phân nó không có thể giải đúng chuẩn bằng giải tích. Vào kỹ thuật, người ta thường sử dụng những giá trị thu được bằng việc giải gần đúng của các hệ phương trình vi phân bởi phương pháp số hóa. Theo cách đó, lời giải của phương trình vi phân đúng là một giai đoạn quan lại trọng trong giải tích số.
Bạn đang xem: Phương pháp vi phân
Trong trường hợp tổng quát, thứ tự của việc làm cho tích phân số là quy trình từng bước đúng đắn chuổi giá chỉ trị cho mỗi biến phụ thuộc tương ứng với một giá bán trị của biến độc lập. Thường thủ tục là chọn giá bán trị của biến độc lập trong một khoảng cố định. Độ đúng đắn cho lời giải bởi tích phân số phụ thuộc cả hai phương pháp chọn cùng kích thước của khoảng giá chỉ trị. Một số phương pháp thường xuyên cần sử dụng được trình bày trong các mục sau đây.
Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số
Phương pháp Euler:
Cho phương trình vi phân bậc nhất.
Khi x là biến độc lập với y là biến phụ thuộc, nghiệm phương trình (2.1) sẽ tất cả dạng:
y = g(x,c) (2.2)
Với c là hằng số đã được xác định từ lý thuyết vào điều kiện ban đầu. Đường cong miêu tả phương trình (2.2) được trình diễn trong hình (2.1). Từ chỗ tiếp xúc với đường cong, đoạn ngắn tất cả thể giả sử là một đoạn thẳng. Theo cách đó, tại mỗi điểm riêng biệt biệt (x0,y0) trên đường cong, ta có:
Với
Khi Δy là số gia của y tương ứng với một số gia của x. Tương tự, giá trị thứ hai của y bao gồm thể xác định như sau.
Bảng giá chỉ trị x và y cung cấp cho toàn bộ bài giải phương trình (2.1). Minh họa phương pháp như hình 2.2.
Phương pháp biến đổi Euler.
Trong khi ứng dụng phương pháp Euler, giá bán trị dy/dx của khoảng giả thiết giám sát bắt đầu vượt ra phía bên ngoài khoảng đến phép. Sự nắm thế đó gồm thể thu được bằng cách giám sát và đo lường giá trị mới của y mang đến x1 như trước.
x1 = x0 + h
Dùng giá trị mới x1 cùng y1(0) cố vào phương trình (2.1) để đo lường gần đúng giá bán trị của
Sau đó tận dụng giá bán trị y1(1) có thể tìm thấy bởi sử dụng trung bình của
Dùng x1 và y1(1), giá chỉ trị xấp xỉ thứ tía y1(2) gồm thể thu được bởi quy trình tương tự như
Ta được:
Quá trình có thể tính tiếp tục mang lại đến khi nhì số liền nhau ước lượng đến y là ngang bằng nằm vào phạm vi ước ao muốn. Thừa trình trọn vẹn lặp lại thu được giá bán trị y2. Kết quả thu được bao gồm sự đúng mực cao hơn từ sự biến đổi của phương pháp Euler được minh họa vào hình 2.3.
Phương pháp Euler bao gồm thể ứng dụng để giải hệ phương trình vi phân thuộc lúc. đến hai phương trình:
Với giá bán trị ban đầu x0, y0 cùng z0 giá bán trị mới y1 sẽ là:
Cho số gia tiếp theo, giá chỉ trị x1 = x0 + h, y1 và z1 dùng để xác định y2 và z2. Trong phương pháp biến đổi Euler y1 và z1 dùng để xác định giá trị đạo hàm tại x1 mang đến đánh giá bán gần đúng cấp hai y1(1) và z1(1).
Phương pháp Picard với sự xấp xỉ liên tục.
Cơ sở của phương pháp Picard là giải chủ yếu xác, bởi sự nạm thế giá trị y như hàm của x vào phạm vi giá bán trị x đã cho.
y g(x)
Đây là biểu thức ước lượng bởi sự nuốm thế trực tiếp giá bán trị của x để thu được giá chỉ trị tương ứng của y. Mang đến phương trình vi phân (2.1).
dy = f(x,y)dx
Và tích phân giữa khoảng giới hạn cho x cùng y.
Số hạng tích phân trình bày sự gắng đổi trong kết quả của y với sự cố kỉnh đổi của x từ x0 đến x1. Lời giải tất cả thể thu được bởi sự đánh giá chỉ tích phân bằng phương pháp xấp xỉ liên tục.
Ta tất cả thể xem giá trị của y như hàm của x có thể đã thu được bởi sự cố thế y dưới dạng tích phân với y0, đến giá trị ban đầu như sau:
Thực hiện biểu thức tích phân với giá chỉ trị mới của y bây giờ được nạm thế vào phương trình (2.3) thu được lần xấp xỉ thứ hai đến y như sau:
Quá trình này còn có thể lặp lại vào thời gian cần thiết để thu được độ đúng chuẩn mong muốn..
Thật vậy, ước lượng tích phân luôn luôn luôn phức tạp thế nhưng phải giả thiết mang đến biến cố định. Cực nhọc khăn cùng cần thực hiện nhiều lần tích phân, đề xuất đây là mặt hạn chế sự áp dụng của phương pháp này.
Phương pháp Picard bao gồm thể áp dụng để giải đồng thời nhiều phương trình như sau:
Theo công thức, ta có:
Trong phương pháp Runge- Kutta sự ráng đổi giá trị của biến phụ thuộc là tính toán từ các công thức đã cho, biểu diễn vào điều kiện ước lượng đạo hàm tại những điểm định trước. Từ mỗi giá trị duy nhất đúng đắn của y cho bởi công thức, phương pháp này không đòi hỏi thế thế lặp lại như phương pháp biến đổi Euler xuất xắc tích phân liên tiếp như phương pháp của Picard.
Công thức rút gọn gần đúng xuất phạt bởi sự nạm thế khai triển chuổi Taylor. Runge- Kutta xấp xỉ bậc hai tất cả thể viết vào công thức.
y1 = y0 + a1k1 + a2k2 (2.4)
Với k1 = f(x0,y0)h
k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h
Các hệ số a1, a2, b1 và b2 là chủ yếu xác. Đầu tiên khai triển f(x0+ b1h, y0+ b2k1) trong chuổi Taylor tại (x0,y0), ta được:
Thay thế nhị điều kiện k1 cùng k2 vào trong phương trình (2.4), thu được:
Khai triển chuổi Taylor của y tại giá chỉ trị (x0,y0) là:
Phương trình (2.6) trở thành.
Cân bằng các hệ số của phương trình (2.5) và (2.7), ta được:
a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2.
Chọn giá trị tùy ý cho a1
a1 = 1/2
Thì a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = 1.
Thay thế giá trị này vào trong phương trình (2.4), công thức gần đúng bậc nhị Runge-Kutta là:
Với k1 = f(x0,y0)h
k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h
Vì thế.
Áp dụng của phương pháp Runge-Kutta mang lại việc xấp xỉ bậc hai đòi hỏi sự tính toán của k1 và k2. Sai số vào lần xấp xỉ là bậc h3 bởi vì chuổi đã cắt sau điều kiện bậc hai.
Tông quát mắng công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta là:
Với k1 = f(x0,y0)h
k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h
k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h
k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h
Tiếp theo thủ tục giống như dùng cho lần xấp xỉ bậc hai, hệ số trong phương trình (2.8) thu được là:
a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6.
Và b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = 1.
cố gắng thế các giá trị vào vào phương trình (2.8), phương trình xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta trở thành.
Với k1 = f(x0,y0)h
Như vậy, sự đo lường và thống kê của Δy theo công thức đòi hỏi sự đo lường và tính toán các giá bán trị của k1, k2, k3 và k4 :
Δy = 1/6(k1+2k2+2k3+k4)
Sai số trong sự xấp xỉ là bậc h5.
Công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta chất nhận được giải đồng thời nhiều phương trình vi phân.
Ta có:
y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4)
z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4)
Với: k1= f(x0,y0,z0)h
k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h
l1 = g(x0,y0,z0)h
l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h
Phương pháp dự đoán sửa đổi.
Phương pháp dựa bên trên cơ sở ngoại suy, xuất xắc tích phân vượt trước, với lặp lại nhiều lần việc giải phương trình vi phân.
Được gọi là phương pháp dự đoán sửa đổi. Thủ tục cơ bản trong phương pháp dự đoán sửa đổi là xuất phát từ điểm (xn,yn) đến điểm (xn+1, yn+1). Thì thu được
Loại đơn giản của công thức dự đoán phương pháp của Euler là:
yn+1 = yn + yn’h (2.10)
Với:
Công thức chính xác không dùng trong phương pháp Euler. Mặc dù, vào phương pháp biến đổi Euler giá bán trị gần đúng của yn+1 thu được từ công thức dự đoán (2.10) cùng giá trị thế thế vào phương trình vi phân (2.9) chính là y’n+1. Thì giá trị chính xác cho yn+1 thu được từ công thức biến đổi của phương pháp là:
Giá trị nạm thế vào phương trình vi phân (2.9) thu được bao gồm sự đánh giá chính xác hơn cho y’n+1, nó luôn luôn luôn vậy thế trong phương trình (2.11) khiến cho yn+1 đúng mực hơn. Quy trình tiếp tục lặp lại mang đến đến khi hai giá trị đo lường và tính toán liên tiếp của yn+1 từ phương trình (2.11) trùng với giá chỉ trị mong muốn muốn chấp nhận được.
Phương pháp dự đoán biến đổi tởm điển của Milne. Dự đoán của Milne cùng công thức biến đổi, theo ông là:
Và
Với:
Bắt đầu của sự đo lường và thống kê đòi hỏi biết bốn giá trị của y. Bao gồm thể đã đo lường bởi Runge-Kutta tuyệt một số phương pháp số trước lúc sử dụng công thức dự đoán sửa đổi của Milne. Không đúng số trong phương pháp là bậc h5.
Trong trường hợp tổng quát, phương pháp muốn muốn chọn h đủ nhỏ phải chỉ vài lần lặp là đòi hỏi thu được yn+1 trả toàn đúng chuẩn như mong mỏi muốn.
Phương pháp có thể mở rộng chất nhận được giải một số phương trình vi phân đồng thời. Phương pháp dự đoán sửa đổi là áp dụng độc lập đối với mỗi phương trình vi phân như một phương trình vi phân đơn giản. Bởi vì vậy, gắng thế giá trị mang đến tất cả những biến phụ thuộc vào vào mỗi phương trình vi phân là đòi hỏi sự đánh giá chỉ đạo hàm tại (xn+1, yn+1).
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO.
Trong kỹ thuật trước đây tế bào tả mang lại việc giải phương trình vi phân bậc nhất cũng gồm thể áp dụng mang lại việc giải phương trình vi phân bậc cao bằng sự đưa vào của biến phụ. Ví dụ, mang đến phương trình vi phân bậc hai.
Với điều kiện ban đầu x0, y0, và
Một trong những phương pháp mô tả trước đây có thể là việc làm cho đi tìm kiếm lời giải cho hai phương trình vi phân bậc nhất đồng thời.
Xem thêm: Lý Thuyết Toán Hình Lớp 10 Quan Trọng, Tóm Tắt Kiến Thức Hình Học 10
Theo phương pháp tương tự, một vài ba phương trình tốt hệ phương trình bậc cao gồm thể quy về hệ phương trình vi phân bậc nhất.