Bất đẳng thức Cô-si: định hướng cần ghi nhớ và những dạng bài bác tập thường xuyên gặp

Bất đẳng thức Cô-si giỏi bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và vừa phải nhân của n số thực không âm. Bài viết hôm nay, thpt Sóc Trăng sẽ reviews về một số kiến thức buộc phải nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một số dạng bài tập thường xuyên gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI


1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn đã xem: Bất đẳng thức Cô-si: định hướng cần ghi ghi nhớ và những dạng bài bác tập thường xuyên gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Gồm nhiều cách để chứng minh bđt này mà lại hay tuyệt nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.

Bạn đang xem: Những bất đẳng thức thường dùng


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và mức độ vừa phải nhân của n số thực ko âm được tuyên bố như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bởi nhau.

*
*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b

– Bất đẳng thức Cô ham mê với n số thực không âm:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

2. Những dạng tuyên bố của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng thể của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x_1 - x_2 và ne 0 <3pt> left( x_1 - x_2 right) ^2 và > 0 <3pt> x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 và > 0 <3pt> x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 <3pt> left( x_1 + x_2 right) ^2& > 4 x_1 x_2 <3pt> Bigl( fracx_1 + x_22 Bigr)^2 & > x_1 x_2 <3pt> fracx_1 + x_22 & > sqrtx_1 x_2 endalign " />

điều bắt buộc chứng minh.

d. Trường phù hợp n = 2k

Xem xét các trường hợp n= 2 k, với k là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy hấp thụ toán học.

Trong trường hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng tỏ ở trên.

Khi, gồm một giá chỉ trị k> 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, cùng cần minh chứng rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm cho như vậy, quá trình được thực hiện như sau:

*
*
*
*
sqrt<2^k>x_1 x_2 cdots x_2^k" />

(điều bắt buộc chứng minh).

e. Trường phù hợp n k

Nếu n không phải là 1 trong hàm mũ tự nhiên và thoải mái cơ số 2, thì nó chắc hẳn rằng là nhỏ hơn một số trong những nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vày chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị chặn trên. Vị đó, nhưng không mất tính tổng quát, với m giá trị theo đúng hàm mũ thoải mái và tự nhiên cơ số 2 béo hơn n.

Xem thêm: Thống Kê Tần Suất Lô To Miền Bắc Rồng Bạch Kim, Tần Suất Loto Xsmb

Vì vậy, ví như ta có n số, thì ta có thể biểu diễn quý hiếm trung bình cùng α, với được mở rộng như sau:

*
*
và = fracfracmn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + fracm-nn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + left( m-n right) alpham <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + x_n+1 + cdots + x_mm <6pt> & > sqrtx_1 x_2 cdots x_n x_n+1 cdots x_m <6pt> & = sqrtx_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n,, endalign " />

như vậy

x_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n <5pt> alpha^n & > x_1 x_2 cdots x_n <5pt> alpha và > sqrtx_1 x_2 cdots x_n endalign " />

điều đề xuất chứng minh.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài tập có lời giải:

Bài 1: Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất của biểu thức 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 với ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn nhu cầu điều kiện 

*
. Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, vận dụng bất đẳng thức Cô si mang đến hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*

Vậy minA = 4 khi và chỉ còn khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn nhu cầu a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán giành được dấu bởi khi và bỏ ra khi a = b = c = 1. Ta đã sử dụng phương thức làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô mê say cho cha số a, b, c không âm có:

*

Tương tự ta có 

*
 và 
*

Cộng vế cùng với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: biến đổi đổi 

*
 rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: biến hóa rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: phát triển thành đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là những số thực không âm, triệu chứng minh:

*

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô ham mê cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho tía số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Minh chứng rằng:

*

(gợi ý sử dụng phương thức làm trội)