Nội dung bài xích Một số phương trình lượng giác thường chạm mặt sẽ ra mắt đên các em dạng và phương thức giải các Phương trình hàng đầu với một hàm con số giác,Phương trình bậc hai so với sin-cos-tan-cot, Phương trình bậc nhất với sinx và cosx. Trải qua các lấy ví dụ như minh họa có hướng dẫn giải những em sẽ nắm rõ được nội dung phần này, tạo cho tảng nhằm giải các phương trình lượng giác từ cơ bạn dạng đến nâng cao.

Bạn đang xem: Một số phương trình lượng giác thường gặp


1. Bắt tắt lý thuyết

1.1. Phương trình hàng đầu với một hàm số lượng giác

1.2. Phương trình bậc hai so với sinx, cosx, tanx, cotx

1.3. Phương trình hàng đầu đối với sinx với cosx

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 3 chương 1 giải tích 11

3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp

3.2 bài xích tập SGK và nâng cấp về phương trình lượng giác hay gặp

4.Hỏi đáp bài bác 3 chương 1 giải tích 11


*

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác là phương trình bao gồm dạng (at + b = 0) trong số ấy a,b là các hằng số (left( a e 0 ight))và t là 1 trong trong những hàm số lượng giác.

Ví dụ: (2sin x - 1 = 0,;,,,c mos2x + frac12 = 0;,,,3 an x - 1 = 0;,,sqrt 3 cot x + 1 = 0)

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.


a) Dạng phương trình

(eginarraylasin ^2x + bsin x + c = 0\acos ^2x + bcos x + c = 0\a an ^2x + b an x + c = 0\acot ^2x + bcot x + c = 0endarray)

b) phương pháp giải

Đặt:

(t = sin x m ( - 1 le mt le m1))

(eginarraylt = cos x m ( - 1 le mt le m1)\t = an x\t = cot xendarray)

c) Chú ýNếu a là một số trong những cho trước nhưng mà ( an alpha ) xác minh thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = (alpha + )kp thoả điều kiện (cos x e 0).Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì nên phải chăm chú đến điều kiện cosP(x) ( e) 0 với cosQ(x) ( e)0.

1.3. Phương trình bậc nhất đối với sinx cùng cosx


a) Dạng phương trình

(asin x + bcos x = c m (1))

Điều kiện bao gồm nghiệm: (a^2 + b^2 ge c^2)

b) cách giảiCách 1: Chia hai vế của (1) mang đến (sqrt a^2 + b^2 ), ta được:

(left( 1 ight) Leftrightarrow fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Vì (left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1) nên ta đặt (left{ eginarray*20csin varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \cos varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Phương trình trở thành:

(sin xsin varphi + cos xcos varphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow cos left( x - varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Đặt (cos alpha = fraccsqrt a^2 + b^2 ) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Xem thêm: Sự Tích Hồ Ba Bể Lớp 4 Kể Chuyện, Tiếng Việt Lớp 4 Sự Tích Hồ Ba Bể

Hoàn toàn tương tự ta cũng rất có thể đặt (left{ eginarraylcos varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \sin varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Khi kia phương trình trở thành: (mathop m sinxcos olimits varphi + cosxsinvarphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow sin left( x + varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Cách 2:

· Xét (cos fracx2 = 0 Leftrightarrow x = pi + k2pi , m k in mathbbZ) tất cả là nghiệm của (1) không

· Xét (cos fracx2 e 0 Leftrightarrow x e pi + k2pi ,k in mathbbZ)

Đặt (t = an fracx2). Lúc đó (sin x = frac2t1 + t^2) cùng (cos x = frac1 - t^21 + t^2)

Phương trình trở thành:

(a.frac2t1 + t^2 + b.frac1 - t^21 + t^2 = c Leftrightarrow left( b + c ight)t^2 - 2at + c - b = 0 m (2))

Giải (2) theo t, tìm được t chũm vào (t = an fracx2) suy ra x

Cách 3:

Nếu (a e 0) phân chia 2 vế mang lại a rồi ta đặt ( an alpha = fracba) (left( { - fracpi 2 Ví dụ: 1

Giải các phương trình sau:

a) (2sin x - 1 = 0,.)

b) (c mos2x + frac12 = 0.)

c) (3 an x - 1 = 0.)

d) (sqrt 3 cot x + 1 = 0.)

e) (2cos x - sin 2x = 0)

Hướng dẫn giải:

a) (2sin x - 1 = 0, Leftrightarrow sin x = frac12 Leftrightarrow sin x = sin fracpi 6 Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 6 + k2pi \x = frac5pi 6 + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))

b) (c mos2x + frac12 = 0 Leftrightarrow c mos2x = frac - 12 Leftrightarrow c mos2x = cos frac2pi 3)

( Leftrightarrow 2x = pm frac2pi 3 + k2pi left( k in mathbbZ ight) Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi left( k in mathbbZ ight))

c) (3 an x - 1 = 0 Leftrightarrow an x = frac13 Leftrightarrow x = arctan frac13 + kpi left( k in mathbbC ight))

d) (sqrt 3 cot x + 1 = 0 Leftrightarrow cot x = frac - 1sqrt 3 Leftrightarrow cot x = cot frac2pi 3 Leftrightarrow x = frac2pi 3 + kpi left( k in mathbbZ ight))

e) (cos x - sin 2x = 0 Leftrightarrow cos x - 2sin xcos x = 0 Leftrightarrow cos xleft( 1 - 2sin x ight) = 0)

( Leftrightarrow left< eginarraylcos x = 0\1 - 2sin x = 0endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylcos x = 0\sin x = frac12endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 2 + kpi \x = fracpi 6 + lpi \x = frac5pi 6 + lpi endarray ight.left( k,l in mathbbZ ight))

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) (2sin ^2x + sin x - 3 = 0)

b) (cos^2x + 3cosx - 1 = 0)

c) (3sin 2^2x + 7cos 2x - 3 = 0)

d) (frac1cos ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x - 1 + sqrt 3 = 0)

Hướng dẫn giải:

a) (2sin ^2x + sin x - 3 = 0(1))

Đặt (t = sin x), điều kiện (left| t ight| le 1). Phương trình (1) trở thành:

(2t^2 + t - 3 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylt = 1;left( nhan ight)\t = frac32;left( loai ight)endarray ight.)

Với t=1, ta được (sin x = 1 Leftrightarrow x = k2pi left( k in mathbbZ ight))

b) (cos^2x + 3cosx - 1 = 0left( 2 ight))

Đặt (t = c mosx), đk (left| t ight| le 1). Phương trình (2) trở thành:

(t^2 + 3t - 1 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylt = frac - 3 + sqrt 13 2left( nhan ight)\t = frac - 3 - sqrt 13 2left( loai ight)endarray ight.)

Với (t = frac - 3 + sqrt 13 2) ta được (c mosx = frac - 3 + sqrt 13 2 Leftrightarrow x = pm arccos frac - 3 + sqrt 13 2 + k2pi left( k in mathbbZ ight))

c) (3sin ^22x + 7cos 2x - 3 = 0 Leftrightarrow 3left( 1 - cos ^22x ight) + 7cos 2x - 3 = 0)

(eginarrayl Leftrightarrow 3cos ^22x - 7cos 2x = 0 Leftrightarrow cos 2xleft( 3cos 2x - 7 ight) = 0\ Leftrightarrow left< eginarraylcos 2x = 0\3cos 2x - 7 = 0endarray ight.endarray)

*) Giải phương trình:(cos 2x = 0 Leftrightarrow 2x = fracpi 2 + kpi Leftrightarrow x = fracpi 4 + kfracpi 2,left( k in mathbbZ ight))

*) Giải phương trình: (3cos 2x - 7 = 0 Leftrightarrow cos 2x = frac73)

Vì (frac73 > 1) đề nghị phương trình (3cos 2x - 7 = 0) vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là (x = fracpi 4 + kfracpi 2,left( k in mathbbZ ight))

d) (frac1cos ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x - 1 + sqrt 3 = 0)

Điều kiện: (cos x e 0) (*)

(3)( Leftrightarrow 1 + an ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x - 1 + sqrt 3 = 0)( Leftrightarrow an ^2x - left( 1 + sqrt 3 ight) an x + sqrt 3 = 0)

Đặt (t = an x)

Khi đó phương trình trở thành: (t^2 - left( 1 + sqrt 3 ight)t - sqrt 3 = 0)( Leftrightarrow left< eginarray*20ct = 1\t = sqrt 3 endarray ight.)

+ với (t = 1 Leftrightarrow an x = 1)( Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi ,k in mathbbZ)

+ cùng với (t = sqrt 3 Leftrightarrow an x = sqrt 3 )( Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi ,k in mathbbZ)

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: (x = fracpi 4 + kpi ),

(x = fracpi 3 + kpi ) (left( k in mathbbZ ight))

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) (sqrt 2 sin 3x + sqrt 6 cos 3x = 2)

b) (left( 2 + sqrt 3 ight)sin x - cos x = 2 + sqrt 3 )

c) (2sqrt 2 left( sin x + cos x ight)cos x = 3 + cos 2x)

Hướng dẫn giải:

a) (sqrt 2 sin 3x + sqrt 6 cos 3x = 2(1))

(1)( Leftrightarrow sin 3x + sqrt 3 cos 3x = sqrt 2 )( Leftrightarrow sin 3x + an fracpi 3cos 3x = sqrt 2 )

( Leftrightarrow sin 3xcos fracpi 3 + sin fracpi 3cos 3x = sqrt 2 cos fracpi 3 Leftrightarrow sin left( 3x + fracpi 3 ight) = fracsqrt 2 2)

( Leftrightarrow left< eginarray*20c3x + fracpi 3 = fracpi 4 + k2pi \3x + fracpi 3 = frac3pi 4 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c3x = - fracpi 12 + k2pi \3x = frac5pi 12 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20cx = - fracpi 36 + frack2pi 3\x = frac5pi 36 + frack2pi 3endarray ight.,k in mathbbZ)

Vậy nghiệm của (1) là (x = - fracpi 36 + frack2pi 3), (x = frac5pi 36 + frack2pi 3) (left( k in mathbbZ ight))

b) (left( 2 + sqrt 3 ight)sin x - cos x = 2 + sqrt 3 ) (2)

Ÿ Xét (cos fracx2 = 0 Leftrightarrow x = pi + k2pi ) ko là nghiệm của phương trình (2)

Ÿ Xét (cos fracx2 e 0)

Đặt (t = an fracx2). Khi ấy (sin x = frac2t1 + t^2) với (cos x = frac1 - t^21 + t^2)

Phương trình (2) trở thành: (left( 2 + sqrt 3 ight)frac2t1 + t^2 - frac1 - t^21 + t^2 = 2 + sqrt 3 )

(eginarrayl Leftrightarrow left( 2 + sqrt 3 ight)2t - 1 + t^2 = left( 2 + sqrt 3 ight)left( 1 + t^2 ight)\ Leftrightarrow left( 1 + sqrt 3 ight)t^2 - 2left( 2 + sqrt 3 ight)t + 3 + sqrt 3 = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20ct = 1\t = sqrt 3 endarray ight.endarray)

+ cùng với (t = 1 Leftrightarrow an fracx2 = 1)( Leftrightarrow fracx2 = fracpi 4 + kpi Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi ,k in mathbbZ)

+ Với(t = sqrt 3 Leftrightarrow an fracx2 = sqrt 3 )( Leftrightarrow fracx2 = fracpi 3 + kpi Leftrightarrow x = frac2pi 3 + k2pi ,k in mathbbZ)

Vậy nghiệm của (2) là (x = fracpi 2 + k2pi ), (x = frac2pi 3 + k2pi )(left( k in mathbbZ ight))

c) (2sqrt 2 left( sin x + cos x ight)cos x = 3 + cos 2x) (3)

(3)( Leftrightarrow 2sqrt 2 sin xcos x + 2sqrt 2 cos ^2x = 3 + cos 2x)

( Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + sqrt 2 left( 1 + cos 2x ight) = 3 + cos 2x)

( Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + left( sqrt 2 - 1 ight)cos 2x = 3 - sqrt 2 )

Điều kiện gồm nghiệm của phương trình: (a^2 + b^2 ge c^2)

Khi đó: (2 + left( sqrt 2 - 1 ight)^2 ge left( 3 - sqrt 2 ight)^2 Leftrightarrow 5 - 2sqrt 2 ge 11 - 6sqrt 2 ) (không thỏa)