*

*

Bài 1. Một số trong những hệ thức về cạnh và con đường cao trong tam giác vuông

Bài 1 trang 102 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính x cùng y trong số hình sau:

*

Lời giải:

a. Hình a:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

*

Theo hệ thức tương tác giữ cạnh góc vuông với hình chiếu của nó, ta có:

*

b. Hình b:

Theo hệ thức tương tác giữa cạnh góc vuông cùng hình chiếu, ta có:

142 = y.16

*

x + y = 15 ⇒ x = 16 – y = 16 – 12,25 = 3,75

Bài 2 trang 102 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính x với y trong các hình sau:

*

Hình b

Lời giải:

a. Hình a:

Theo hệ thức tương tác giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

x2 = 2.(2 + 6) = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

y2 = 6.(2 + 6) = 6.8 = 48 ⇒ y = √48 = 4√3

b. Hình b:

Theo hệ thức tương tác giữa mặt đường cao cùng hình chiếu nhì cạnh góc vuông, ta có:

x2 = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

Bài 3 trang 103 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính x cùng y trong các hình sau:

*

Lời giải:

a. Hình a:

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

y2 = 72 + 92 ⇒ y = 

*

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao với cạnh vào tam giác vuông, ta có:

x.y = 7.9 ⇒ x = 

*

b. Hình b:

Theo hệ thức tương tác giữa con đường cao và hình chiếu, ta có:

52 = x.x = x2 ⇒ x = 5

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông với hình chiếu, ta có:

y2 = x.(x + x) = 5.(5 + 5) = 50 ⇒ y = √50 = 5√2

Bài 4 trang 103 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy tính x và y trong số hình sau:

*

Lời giải:

a. Hình a:

Theo hệ thức tương tác giữa con đường cao và hình chiếu, ta có:

32 = 2.x ⇒ x = 

*
 = 4,5

Theo hệ thức tương tác giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

y2 = x.(x + 2) = 4,5.(4,5 + 2) = 29,25 ⇒ y = √29,25

b. Hình b:

Ta có: 

*
 

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

y2 = BC2 = AB2 + AC2 = 152 + 202 = 625

Suy ra: y = √625 = 25

Theo hệ thức liên hệ giữa mặt đường cao cùng cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x.y = 15.20 ⇒ x = 

*
 = 12

Bài 5 trang 103 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A, mặt đường cao AH. Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:

a. Mang đến AH = 16, bảo hành = 25. Tính AB, AC, BC, CH

b. đến AB = 12, bảo hành = 6. Tính AH, AC, BC, CH

Lời giải:

*

a. Theo hệ thức contact giữa mặt đường cao cùng hình chiếu, ta có: AH2= BH.CH

⇒ CH = 

*

BC = bh + CH = 25 + 10,24 = 35,24

Theo hệ thức tương tác giữa cạnh góc vuông với hình chiếu, ta có:

AB2 = BH.BC ⇒ AB = 

*

≈ 29,68

AC2 = HC.BC

⇒ AC =

*
≈ 18,99

b. Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2 = BH.BC ⇒ BC = 

*
 = 24

CH = BC – bảo hành = 24 – 6 = 18

Theo hệ thức liên hệ giữa những cạnh góc vuông cùng hình chiếu, ta có:

AC2 = HC.BC ⇒ AC = 

*
 ≈ 20,78

Theo hệ thức contact giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

AH2 = HB.BC ⇒ AH = 

*

Bài 6 trang 103 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông gồm độ nhiều năm là 5 cùng 7, kẻ mặt đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và những đoạn thẳng mà nó chia nhỏ ra trên cạnh huyền.

Bạn đang xem: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông sbt

Lời giải:

*

Giả sử tam giác ABC có 

*
 , AB = 5, AC = 7

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

BC2 = AB2 + AC2

⇒ BC = 

*

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao với cạnh trong tam giác vuông, ta có:

AH.BC = AB.AC ⇒ AH = 

*

Theo hệ thức tương tác giữa cạnh góc vuông với hình chiếu của nó, ta có:

AB2 = BH.BC ⇒ bảo hành = 

*

CH = BC – bảo hành = 

*

Bài 7 trang 103 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Đường cao của một tam giác vuông phân tách cạnh huyền thành hai tuyến đường thẳng gồm độ nhiều năm là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

*

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC tất cả góc BAC = 90o, AH ⊥ BC, bh = 3, CH = 4

Theo hệ thức tương tác giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2 = BH.BC = 3.(3 + 4) = 3.7 = 21 ⇒ AB = √21

AC2 = CH.BC = 4.(3 + 4) = 4.7 = 28 ⇒ AC = √28 = 2√7

Bài 8 trang 103 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cạnh huyển của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là một trong những cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyển là 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.

*

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có góc (BAC) = 90o

Theo đề bài, ta có: BC – AB = 1 (cm) (1)

AB + AC – BC = 4 (cm) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC – AB + AB + AC – BC = 4 + 1 = 5 (cm)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có: BC2 = AB2 + AC2 (3)

Từ (1) suy ra: BC = AB + 1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có:

(AB + 1)2 = AB2 + AC2

⇔ AB2 + 2AB + 1 = AB2 + 52

⇔ 2AB = 24 ⇔ AB = 12 (cm)

Thay AB = 12 (cm) vào (1) ta có: BC = 12 + 1 = 13 (cm)

Bài 9 trang 104 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Một tam giác vuông bao gồm cạnh huyền là 5 và con đường cao tương ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ dại nhất của tam giác vuông này.

*

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC gồm góc (BAC) = 90o, AH ⊥ BC, BC = 5, AH = 2 và bh 2 = 22 = 4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bh = 1 với CH = 4

Theo hệ thức contact giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2 = BH.BC = 1.5 = 5

Suy ra: AB = √5

Bài 10 trang 104 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạn góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125 cm. Tính độ dài những cạnh góc vuông cùng hình chiếu của những cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

*

Lời giải:

*

Bài 11 trang 104 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông trên A. Biết rằng 

*
 , mặt đường cao AH = 30cm. Tính HB, HC.

*

Lời giải:

*

Bài 12 trang 104 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Hai vệ tinh sẽ bay tại vị trí A cùng B cùng cách mặt đấy 230 km bao gồm nhìn thấy nhau hay là không nếu khoảng cách giữa chúng theo con đường thẳng là 2200 km? Biết rằng nửa đường kính R của Trái Đất gần bằng 6370 km và hai vệ tinh bắt gặp nhau giả dụ OH > R.

*

Lời giải:

Vì hai vệ tinh cùng giải pháp mặt khu đất 230 km nên tam giác AOB cân tại O.

Ta có: OA = R + 230

= 6370 + 230 = 6600 (km)

Trong tam giác AOB ta có: OH ⊥ AB

Suy ra: HA = HB = AB/2 = 2200/2 = 1100 (km)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:

OA2 = AH2 + OH2

Suy ra: OH2 = OA2 – AH2

Suy ra:

OH =

*
≈ 6508 (km)

Vì OH > R nên hai vệ tinh thấy được nhau.

Bài 13 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho nhị đoạn thẳng bao gồm độ dài là a với b. Dựng những đoạn thẳng bao gồm độ dài tương ứng bằng:

*

Lời giải:

*Cách dựng (hình a):

- Dựng góc vuông xOy.

- trên tia Ox, dựng đoạn OA = a

- trên tia Oy, dựng đoạn OB = b.

- Nối AB, ta bao gồm đoạn AB = 

*
 cần dựng

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

AB2 = OA2 + OB2 = a2 + b2

Suy ra: AB = 

*

*

*Cách dựng (hình b):

- Dựng góc vuông xOy

- trên tia Ox, dựng đoạn OA = b.

- Dựng cung tròn trung ương A, nửa đường kính bằng a cắt Oy tại B.

Ta có đoạn OB = 

*
 (a > b) cần dựng.

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

AB2 = OA2 + OB2 ⇒ OB2 = AB2 – OA2 = a2 – b2

Suy ra: OB = 

*

*

Bài 14 trang 104 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho nhị đoạn thẳng có độ nhiều năm là a với b. Dựng đoạn thẳng √(ab) như vậy nào?

*

Lời giải:

*Cách dựng:

- Dựng mặt đường thẳng t.

- trên đường thẳng t dựng thường xuyên hai đoạn thẳng AB = a, BC = b.

- Dựng nửa đường tròn trung khu O đường kính AC.

- từ bỏ B dựng con đường thẳng vuông góc cùng với AC cắt nửa đường tròn trung ương O trên D

Ta gồm đoạn BD = √(ab) đề xuất dựng.

*Chứng minh:

Nối DA cùng DC. Ta bao gồm ΔACD vuông tại D và DB ⊥ AC.

Theo hệ thức liên hệ giữa mặt đường cao cùng hình chiếu, ta có:

BD2 = AB.BC = a.b

Suy ra: BD = √(ab)

Bài 15 trang 104 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Giữa nhì tòa bên (kho cùng phân xưởng) của một bên máy, tín đồ ta kiến thiết một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa đơn vị là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt tại độ cao 8m cùng 4m so với khía cạnh đất. Tra cứu độ dài AB của băng chuyền.

*

Lời giải:

*

Kẻ bh ⊥ AD ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật.

Ta có: BC = DH và bh = CD (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: DH = 4(cm)

AH = 8 – 4 = 4 (cm)

BH = 10 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

AB2 = BH2 + AH2

Suy ra: AB =

*
≈ 10,8 (m)

Vậy băng chuyền dài khoảng chừng 10,8 m.

Bài 16 trang 104 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác bao gồm độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm kiếm góc đối lập với cạnh có độ nhiều năm 13 của tam giác.

*

Lời giải:

Ta có: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132

Vì tam giác có cha cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lí Pi-ta-go (bình phương một cạnh bởi tổng bình phương hai cạnh còn lại) cho nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối lập với cạnh 13 (cạnh lâu năm nhất) là góc vuông.

Bài 17 trang 104 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B giảm đường chéo cánh AC thành hai đoạn 

*
 m. Tính các size của hình chữ nhật.

Lời giải:

*

*

Suy ra: AB2 = 9.4 = 36 ⇒ AB = √36 = 6 (m)

BC2 = 16.4 = 64 ⇒ BC = √64 = 8 (m)

Vậy: AB = CD = 6m

BC = AD = 8m.

Bài 18 trang 105 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ con đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.

*

Lời giải:

Gọi a, b, c thứu tự là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b = 30cm, c = 40cm

Xét hai tam giác vuông AHB với CHA, ta có:

*

Bài 19 trang 105 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông tại A tất cả cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và xung quanh của góc B giảm đường trực tiếp AC thứu tự tại M với N. Tính các đoạn trực tiếp AM và AN.

*

Lời giải:

Vì BM là con đường phân giác của góc B đề xuất ta có:

*

Vì BN là mặt đường phân giác của góc ngoài đỉnh B phải ta có: BM ⊥ BN

Suy ra tam giác BMN vuông trên B

Theo hệ thức liên hệ giữa con đường cao cùng hình chiếu nhị cạnh góc vuông, ta có: AB2 = AM.AN

Suy ra: AN = 

*
 = 12 (cm)

Bài 20 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác vuông ABC. Xuất phát điểm từ 1 điểm M bất cứ trong tam giác kẻ MD, ME, MF theo thứ tự vuông góc với những cạnh BC, AC, AB. Chứng tỏ rằng: BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2

*

Lời giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:

BM2 = BD2 + DM2 => BD2 = BM2 – DM2 (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:

CM2 = CE2 + EN2 => CE2 = CM2 – EM2 (2)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:

AM2 = AF2 + FM2 => AF2 = AM2 – FM2 (3)

Cộng từng vế của (1), (2) với (3) ta có:

BD2 + CE2 + AF2 = BM2 – DM2 + CM2 – EM2 + AM2 – FM2 (4)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:

BM2 = BF2 + FM2 (5)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:

CM2 = CD2 + DM2 (6)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:

AM2 = AE2 + EM2 (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

BD2 + CE2 + AF2

= BF2 + FM2 – DM2 + CD2 + DM2 – EM2 + AE2 + EM2 – FM2

= DC2 + EA2 + FB2

Vậy BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2.

Bài 1 trang 105 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông trên A có AB : AC = 3 : 4 và đường cao AH bởi 9cm. Khi ấy độ nhiều năm đoạn trực tiếp HC bằng

A.6cm;

B. 9cm;

C. 12cm;

D. 15cm.

Hãy chọn giải pháp đúng.

Lời giải:

Hướng dẫn:

ΔABC ∼ ΔHAC nên 

*

Suy ra HC = 4/3HA = 12. Lựa chọn C.

Bài 2 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông trên A bao gồm AB : AC = 4 : 5 và mặt đường cao AH bởi 12cm. Lúc đó độ lâu năm đoạn trực tiếp HB bằng

A. 6cm;

B. 9,6cm;

C. 12cm;

D. 15cm.

Hãy chọn cách thực hiện đúng.

*Trong những bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử dụng những kí hiệu sau đây so với tam giác ABC vuông tại A tất cả đường cao AH:

AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, bảo hành = c’, CH = b’.

Lời giải:

Hướng dẫn:

ΔABC ∼ ΔHBA nên 

*

Suy ra HB = 4/5HA = 48/5 = 9,6. Lựa chọn B.

Bài 3 trang 105 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

a) Tính h, b, c giả dụ biết b’ = 36, c’ = 64.

b) Tính h, b, b’, c’ nếu biết a = 9, c = 6.

Lời giải:

a) h2= b’c’ kéo theo h = 48; a = b’ + c’ = 100 từ b2= ab’ suy ra b = 60, tự c2 = ac’ suy ra c = 80.

b) c’ = c2/a = 4, b’ = a – c’ = 5, b2= ab’ = 45 đề nghị b = 3√5; h2= b’c’ = 20, buộc phải h = 2√5.

Bài 4 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

Hãy biểu thị b’, c’ qua a, b, c.

Lời giải:

Từ b2 = ab’, c2 = ac’ suy ra b’ = b2/a, c’ = c2/a.

Bài 5 trang 105 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Chứng minh rằng:

*

Lời giải:

a) nhị cách:

Cách 1: Dùng bí quyết tính diện tích tam giác vuông ABC:

S = 1/2ah = 1/2bc suy ra h = bc/a.

Cách 2: sử dụng tam giác đồng dạng:

*

Bài 7 trang 106 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Trong tam giác có những cạnh là 5cm, 12cm, 13, kẻ mặt đường cao đến cạnh béo nhất. Hãy tính các đoạn thẳng mà đường cao này chia nhỏ ra trên cạnh lớn nhất đó.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, Bc = 13cm.

Vì 132 = 52 + 122 nên ΔABC là tam giác vuông trên A. Call AH là con đường cao kẻ tự A thì 

*

Bài 8 trang 106 Sách bài bác tập Toán 9 Tập 1: 

Tam giác ABC vuông trên A bao gồm đường cao AH bởi 12cm. Hãy tính cạnh huyền BC ví như biết HB : HC = 1 : 3.

Lời giải:

AH2 = HB. HC = 122 = 144 buộc phải HC = 3HB buộc phải HB2 = 122/3 = 48, suy ra HB = 4√3, HC = 12√3 với BC = HB + HC = 16√3 (cm).

Bài 9 trang 106 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, mặt đường trung tuyến đường BM. Call D là chân mặt đường vuông góc kẻ từ bỏ C đến BM cùng H là chân mặt đường vuông góc kẻ tự D mang lại AC. Vào các xác minh sau, xác định nào đúng, xác minh nào sai? trên sao?

a) ΔHCD ∼ ΔABM.

b) AH = 2HD.

Lời giải:

*

a) nhì tam giác vuông HCD và DCM đồng dạng (có cùng góc nhọn tại C) mà

ΔDCM ∼ ΔABM (vì là nhị tam giác vuông tất cả ∠(DMC) = ∠(AMB), vậy ΔHCD ∼ ΔABM. Xác định a) là đúng.

b) Theo câu a), trường đoản cú AB = 2AM, suy ra HC = 2HD. Ta tất cả HC Bài 10 trang 106 Sách bài xích tập Toán 9 Tập 1: 

Cho hình thang ABCD vuông tại A có cạnh lòng AB bởi 6cm, kề bên AD bởi 4cm cùng hai đường chéo cánh vuông góc với nhau. Tính độ dài những cạnh DC, CB cùng đường chéo cánh DB.

Lời giải:

*

Hai đường chéo cánh AC, BD cắt nhau tại H. Vào tam giác vuông ABD, ta có:

*

Kẻ đường cao ông chồng của tam giác ABC, thường thấy KB = AB – DC = 6 - 8/3 = 10/3.

Xem thêm: Give Là Gì Trong Tiếng Anh? Give Nghĩa Là Gì Trong Tiếng Việt

*

Tam giác vuông ABD bao gồm DB2 = AB2 + AD2 = 62 + 42 = 52, từ đó DB = √52 = 2√13 (cm).