Khái Niệm Về Thể Tích Của Khối Đa Diện

Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng đặc biệt nhất sinh hoạt chương này, để rất có thể giải được các bài tập dạng này yên cầu khả năng vân dụng, tổng hợp những kiến thức hình học không khí đã được học với ghi ghi nhớ được những công thức tính thể tích các khối đa diện rất gần gũi như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng chừng cách và chứng minh hệ thức.

Bạn đang xem: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

1. đoạn phim bài giảng

2. Cầm tắt lý thuyết

2.1. Tính chất của thể tích khối nhiều diện

2.2. Thể tích khối hộp chữ nhật

2.3. Thể tích khối chóp

2.4. Thể tích khối lăng trụ

3. Bài tập minh hoạ

4. Rèn luyện bài 3 hình học 12

4.1 Trắc nghiệm về tính thể tích khối đa diện

4.2 bài xích tập SGK và nâng cấp về thể tích khối đa diện

5. Hỏi đáp về tính chất tính thể tích khối đa diện

Giả sử có một khối hộp chữ nhật cùng với 3 kích thước a, b, c đầy đủ là phần đông số dương. Lúc ấy thể tích của chính nó là:(V=a.b.c).

(V_S.ABCD=frac13S_ABC.SH)

Trên những đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm

Thể tích của khối lăng trụ bởi tích số của diện tích mặt dưới với độ cao của khối lăng trụ đó:(V=S_day.h.)

(V_ABC.A"B"C"=S_ABC.C"H)

1. Tính thể tích khối chóp

Cho hình chóp S.ABC gồm tam giác ABC vuông trên B, (AB=a sqrt 2, AC=a sqrt 3), lân cận SA vuông góc với khía cạnh phẳng đáy và (SB=a sqrt 3.)Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Tam giác ABC vuông trên B cần (BC = sqrt AC^2 - AB^2 = a.)

Suy ra:( mS_Delta mABC = frac12BA.BC = frac12.asqrt 2 .a = fraca^2.sqrt 2 2)

Tam giác SAB vuông trên A tất cả (SA = sqrt SB^2 - AB^2 = a.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: (V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.fraca^2.sqrt 2 2.a = fraca^3.sqrt 2 6.)

Cho hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh (asqrt2), ở bên cạnh SA vuông góc với phương diện phẳng đáy với (SC=a sqrt5). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Diện tích ABCD: ( mS_ mABCD = left( asqrt 2 ight)^2 = 2a^2.)

Ta có: (AC = AB.sqrt 2 = asqrt 2 .sqrt 2 = 2a.)

Tam giác SAC vuông tại A nên: (SA = sqrt SC^2 - AC^2 = a).

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: (V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA = frac13.2a^2.a = frac2a^33.)

Cho hình chóp tam giác đầy đủ S.ABC gồm cạnh đáy bằng (asqrt3), sát bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Gọi M là trung điểm của BC.

O là giữa trung tâm tam giác ABC suy ra (SO ot (ABC).)

Tam giác ABC rất nhiều cạnh (asqrt3)suy ra:

(AM=asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a2.)

( mAO = frac m2 m3.AM = frac23.frac3a2 = a).

( mS_Delta mABC = frac12AB.AC.sin 60^0 = frac12.asqrt 3 .asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = frac3a^2.sqrt 3 4).

Tam giác SAO vuông tại A nên ta có(SO = sqrt SA^2 - AO^2 = a.sqrt 3.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.frac3a^2sqrt 3 4.a = fraca^3.sqrt 3 4.)

Cho hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình vuông vắn cạnh a, bên cạnh SA vuông góc với phương diện phẳng đáy cùng SC tạo ra với dưới đáy một góc bởi 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

(SA ot (ABCD))nên AC là hình chiếu của SC lên mặt mặt phẳng (ABCD).

Do đó: (widehat (SC,(ABCD)) = widehat (SC,AC) = widehat SCA = 60^o.)

Diện tích đáy là: ( mS_ mABCD = a^2.)

Tam giác SAC vuông trên A bao gồm (AC=a sqrt2, widehat SCA = 60^0 Rightarrow SA = AC. an 60^o = asqrt 6.)

Vậy thể tích khối chóp là: (V_S.ABCD = frac13.S_ABCD.SA = frac13.a^2.asqrt 6 = fraca^3.sqrt 6 3.)

Cho hình chóp S.ABC gồm đáy ABC là tam giác vuông cân nặng tại A, cạnh (BC=asqrt2,)cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bởi 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Gọi M là trung điểm của BC ta có: (AM ot BC).

Mặt khác: (SA ot BC)do (SA ot left( ABC ight).)

Nên: (BC ot (SAM) Rightarrow SM ot BC.)

Suy ra: (widehat ((SBC),(ABC)) = widehat (SM,AM) = widehat SMA = 45^o).

Tam giác ABC vuông cận trên A gồm (BC=asqrt2)suy ra:

(AB = BC = a)và (AM = fracasqrt 2 2)(Rightarrow mS_Delta mABC = frac12AB.AC = frac12.a.a = fraca^22)

Tam giác SAM vuông trên A có(AM = fracasqrt 2 2)và(widehat SMA = 45^o)

Suy ra: (SA = AB. an 45^o = fracasqrt 2 2.)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

(V_S.ABC = frac13.S_ABC.SA = frac13.fraca^22.fracasqrt 2 2 = fraca^3.sqrt 2 12).

2. Thể tích khối lăng trụ

Cho lăng trụ đứng ABC.A"B"C"có đáy ABC là tam giác vuông trên B, AB=a, (AC=asqrt3), cạnh A"B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Tam giác ABC vuông tại B đề xuất (BC=sqrt AC^2 - AB^2 = asqrt 2.)

Suy ra: (S_ABC = frac12AB.BC = fraca^2sqrt 2 2.)

Tam giác A"AB vuông tại A nên: (A"A = sqrt A"B^2 - AB^2 = asqrt 3 .)

Vậy thể tích khối lăng trụ là: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = fraca^3sqrt 6 2.)

Cho lăng trụ ABC.A"B"C"có đáy ABC là tam giác đầy đủ cạnh (2asqrt3), hình chiếu vuông góc của A"lên khía cạnh phẳng (ABC) trùng với trung tâm của tam giác ABC, cạnh A"A đúng theo với dưới mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A"B"C".

Gọi M là trung điểm của BC.

G là trung tâm tam giác ABC suy ra: (A"G ot (ABC)).

Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA" lên mặt phẳng (ABC).

Suy ra: (left( widehat A^/A,(ABC) ight) = widehat A^/AG = 30^0.)

Tam giác ABC những cạnh (2asqrt3)nên: (S_ABC = left( 2asqrt 3 ight)^2.fracsqrt 3 4 = 3a^2sqrt 3.)

Tam giác A"AG vuông tại G gồm (widehat A = 30^0,AG = frac23AM = frac23.2asqrt 3 .fracsqrt 3 2 = 2a.)

Suy ra: (A"G = AG. an 30^0 = frac2asqrt 3 3.)

Vậy: (V_ABC.A"B"C" = S_ABC.A"A = 6a^3.)

3. Phương pháp tính tỷ số thể tích

Cho hình chóp S.ABC tất cả tam giác ABC phần đa cạnh 2a, bên cạnh SA vuông góc với phương diện phẳng đáy và (SA=asqrt3.)Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN cùng A.BCNM.

Lời giải:

Khối chóp S.AMN cùng S.ABC bao gồm chung đỉnh S và góc sinh hoạt đỉnh S.

Do kia theo cách làm tỷ số thể tích, ta có:

(fracV_S.AMNV_S.ABC = frac mSA mSA.fracSMSB.fracSNSC = 1.frac12.frac12 = frac14)

Suy ra:(V_S.AMN = fracV_S.ABC4 = fracfrac13.a^2sqrt 3 .asqrt 3 4 = fraca^34)

Và:(V_A.BCNM = frac34.V_S.ABC = frac3a4^3.)

Cho hình chóp(S.ABCD)có đáy(ABCD)là hình bình hành, M cùng N theo lắp thêm tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích(fracV_S.CDMNV_S.CDAB).

Ta có:

(V_S.MNCD = V_S.MCD + V_S.MNC)và(V_S.ABCD = V_S.ACD + V_S.ABC).

Xem thêm: Nhịn Ăn Sáng Bị Gì Xảy Ra Nếu Bạn Bỏ Ăn Sáng Mỗi Ngày? Tác Hại Khi Bỏ Bữa Sáng

Khi đó:(fracV_S.MCDV_S.ACD = fracSMSA = frac12 Leftrightarrow V_S.MCD = frac14V_S.ABCD)

Mặt khác:(fracV_S.MNCV_S.ABC = fracSMSA.fracSNSB = frac14 Rightarrow V_S.MNC = frac18V_S.ABCD)

Từ bên trên suy ra(V_S.MNCD = left( frac14 + frac18 ight)V_S.ABCD = frac38V_S.ABCD).