1. Hệ trục tọa độ trong không gian
*
- Định nghĩa: Hệ có $3$ trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc được call là hệ trục tọa độ vuông góc trong ko gianThuật ngữ và ký hiệu:- Hệ trục tọa độ trong định nghĩa trên còn được gọi đơn giản là hệ tọa độ trong không gian, ký hiệu là $Oxyz$. Ta hay gọi các vecto đơn vị chức năng trên những trục $Ox, Oy, Oz$ theo thứ tự là $overrightarrow i, ,overrightarrow j, ,overrightarrow k $ và còn cam kết hiệu hệ trục tọa độ là $(O;overrightarrow i, ,overrightarrow j, ,overrightarrow k )$. Điểm $O$ call lả nơi bắt đầu của hệ tọa độ, $Ox$ điện thoại tư vấn là trục hoành, $Oy $ là trục tung cùng $Oz$ là trục cao- những mặt phẳng đi qua 2 vào 3 trục tọa độ điện thoại tư vấn là các mặt phẳng tọa độ, ta ký kết hiệu chúng là mp$(Oxy)$, mp$(Oyz)$ cùng mp$(Ozx)$ hoặc dễ dàng hơn là $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$- Khi không gian đã có 1 hệ tọa độ $Oxyz$ thì nó được điện thoại tư vấn là không khí tọa độ $Oxyz$ hoặc đơn giản và dễ dàng hơn là không khí $Oxyz$- chú ý các đẳng thức sau: $egingathered overrightarrow i ^2 = overrightarrow j ^2 = overrightarrow k ^2 = 1 \ overrightarrow i .overrightarrow j = overrightarrow j .overrightarrow k = overrightarrow k .overrightarrow i = 0 \ endgathered $2. Tọa độ của vecto- Trong không gian tọa độ $Oxyz$ với những vecto đơn vị chức năng $overrightarrow i ,overrightarrow j ,overrightarrow k $ trên các trục, cho 1 vecto $overrightarrow u $. Khi đó có bộ 3 số độc nhất (x;y;z) làm thế nào cho $overrightarrow u = xoverrightarrow i + yoverrightarrow j + zoverrightarrow k $. Cỗ 3 số đó call là tọa độ của vecto $overrightarrow u $ đối với hệ tọa độ Oxyz và ký kết hiệu hoặc $overrightarrow u (x;y;z)$Vậy:$overrightarrow u = (x;y;z) Leftrightarrow overrightarrow u (x;y;z) Leftrightarrow overrightarrow u = xoverrightarrow i + yoverrightarrow j + zoverrightarrow k $Hiển nhiên ta có: $overrightarrow i = (1;0;0),,;overrightarrow j = (0;1;1),,;overrightarrow k = (0;0;1)$Từ quan niệm về tọa độ của vecto, ta dễ dãi suy ra các tính chất sau:Cho các vecto $overrightarrow u_1 = (x_1;y_1;z_1),overrightarrow u_2 = (x_2;y_2;z_2),overrightarrow u_3 = (x_3;y_3;z_3)$ với số k tùy ý, ta có$egingathered 1),overrightarrow u_1 = overrightarrow u_2 Leftrightarrow x_1 = x_2,y_1 = y_2,z_1 = z_2 \ 2),overrightarrow u_1 pm overrightarrow u_2 = (x_1 pm x_2;y_1 pm y_2;z_1 pm z_2) \ 3),koverrightarrow u_1 = (kx_1;kx_2;kx_3) \ 4),overrightarrow u_1 .overrightarrow u_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \ 5)left| overrightarrow u_1 ight| = sqrt overrightarrow u_1 ^2 = sqrt x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 \ 6),cos (overrightarrow u_1 ,overrightarrow u_2 ) = fracx_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2sqrt x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 .sqrt x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 ,,,,,(overrightarrow u_1 e 0,overrightarrow u_2 e 0) \ 7),overrightarrow u_1 ot overrightarrow u_2 Leftrightarrow overrightarrow u_1 .overrightarrow u_2 = 0 Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2=0 \ endgathered $3. Tọa độ của điểm Trong không gian tọa độ $Oxyz$, từng điểm $M$ được trọn vẹn xác định bởi vecto $overrightarrow OM $. Bởi vì vậy, nếu $(x;y;z)$ là tọa độ của $overrightarrow OM $ thì ta cũng nói $(x;y;z)$ là tọa độ của điểm $M$ và ký hiệu là $M = (x;y;z)$ hoặc $M(x;y;z)$Như vậy: $M = (x;y;z) Leftrightarrow overrightarrow OM = xoverrightarrow i + yoverrightarrow j + zoverrightarrow k $
*
Số x gọi là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của điểm M4. Contact giữa tọa độ của vecto cùng tọa độ của 2 điểm mút mang đến 2 điểm $A(x_A;y_A;z_A)& B(x_B;y_B;z_B)$. Lúc đó ta có:$egingathered 1),overrightarrow AB = (x_B - x_A;y_B - y_A;z_B - z_A) \ 2),AB = sqrt (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 \ endgathered $5. Tích có vị trí hướng của 2 vecto: Tích có hướng (hay tích vecto) của 2 vecto $overrightarrow u (a;b;c)& overrightarrow v (a";b";c")$ là một trong vecto, kí hiệu là $ ext$ hoặc $overrightarrow u wedge overrightarrow v $, được xác định bằng tọa độ như sau:$ ext = left( ight) = left( bc" - b"c;ca" - a"c;ab" - a"b ight)$ đặc thù của tích bao gồm hướng:1. Vecto $ ext$ vuông góc đối với cả 2 vecto $overrightarrow u & overrightarrow v $ tức là:$ ext ext.overrightarrow u = ext.overrightarrow v = 0$2. $left| left< overrightarrow u ,overrightarrow v ight> ight| = left| overrightarrow u ight|.left| overrightarrow v ight|.sin (overrightarrow u ,overrightarrow v )$3. $left< overrightarrow u ,overrightarrow v ight> = 0$ khi và chỉ còn khi 2 vecto $overrightarrow u & overrightarrow v $ thuộc phươngỨng dụng của tích tất cả hướng:a) Tính diện tích s hình bình hành:Nếu ABCD là hình bình hành thì diện tích của nó là: $S = left| left< overrightarrow AB ,overrightarrow AD ight> ight|$b) Tính thể tích khối chóp:
*
Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp với diện tích đáy ABCD là S, độ cao là h = AH, $varphi $ là góc hợp vày 2 vecto $overrightarrow extAA" & left< overrightarrow AB ,overrightarrow AD ight>$ thì thể tích của hình hộp kia là:$V = S.h = left| left< overrightarrow AB ,overrightarrow AD ight> ight|.AH = left< overrightarrow AB ,overrightarrow AD ight>.left| overrightarrow extAA" ight|.c extosvarphi $Một số đặc thù liên quan mang đến tích vô hướng và tích có hướng:$overrightarrow u ot overrightarrow v Leftrightarrow overrightarrow u .overrightarrow v = 0$$overrightarrow u $ với $overrightarrow v $ thuộc phương $ Leftrightarrow left< overrightarrow u ,overrightarrow v ight> = 0$$overrightarrow u ,overrightarrow v ,overrightarrow extw $ đồng phẳng $ Leftrightarrow left< overrightarrow u ,overrightarrow v ight>.overrightarrow extw = 0$6.


Bạn đang xem: Hệ tọa độ


Xem thêm: Cách Tính Diện Tích Toàn Phần Hình Trụ, Diện Tích Toàn Phần Hình Trụ

Phương trình mặt cầu:
Trong không khí tọa độ Oxyz , mặt cầu tâm $I(x_0;y_0;z_0)$, nửa đường kính R gồm phương trình:$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ là phương trình của mặt mong khi và chỉ còn khi $a^2 + b^2 + c^2 > d$. Lúc ấy tâm khía cạnh cầu là vấn đề $I( - a; - b; - c)$ và phân phối kính: $R = sqrt a^2 + b^2 + c^2 - d $