A. Lý thuyết cơ bản

1. Hàm số lũy thừa

- Định nghĩa: Hàm số

*
với
*
, được điện thoại tư vấn là hàm số lũy thừa.

Bạn đang xem: Hàm số lũy thừa và hàm số mũ, trắc nghiệm toán học lớp 12

- Tập xác định:

+

*
nếu
*
là số nguyên dương.

+

*
nếu
*
nguyên âm hoặc bằng 0.

+

*
với
*
không nguyên.

- Đạo hàm:

+ Hàm số

*
có đạo hàm cùng với mọi
*
0" />và
*
.

+ Đạo hàm của hàm hợp:

*
.

- đặc điểm của hàm số lũy thừa trên khoảng

*
:

2. Hàm số mũ

- Hàm số

*
0,a e 1)" />được gọi làhàm số mũcơ số
*
.

- Hàm số

*
có đạo hàm trên mọi
*
và
*
. Đặc biệt:
*
.

- các tính chất:

+ TXĐ:

*
.

+ Khi

*
1" />thì hàm số luôn luôn đồng biến.

+ Khi

*
0,a e 1)" />được gọi là hàm số logarit cơ số
*
.

- Hàm số logarit tất cả đạo hàm trên mọi

*
0" />và
*
.

Đặc biệt

*
.

- những tính chất:

+ TXĐ:

*
.

+ Khi

*
1" />thì hàm số đồng biến;

+ Khi

*
!! ext }^alpha }" />:

+ xác minh với mọi

*
nếu
*
nguyên dương.

+ khẳng định với

*
nếu
*
nguyên âm.

+ khẳng định với

*
0" />nếu
*
không nguyên.

* Hàm số mũ

*
xác định khi
*
xác định
*
.

+

*
xác định
*
.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1.1:Tập xác minh của hàm số

*
là

A.

*
!! ext cup ext !!!! ext " />. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
0Leftrightarrow xin (-1;-frac12)cup (0;frac43)" />.

Chọn C.

Ví dụ 1.2:Tập khẳng định của hàm số

*
là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số đã mang lại xác định

*

Vậy tập xác minh của hàm số là

*
.

Chọn C.

Ví dụ 1.3:Tìm x để hàm số

*
xác định.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
" />.

Lời giải:

Hàm số xác định

*
để hàm số
*
có tập xác định
*
?

A.

*
-2" />. D.
*
.

Lời giải:

Hàm số bao gồm tập xác minh là

*
để hàm số
*
xác định trên
*
.

A.

*
. B.
*
0\x-m>0endarray ight.Leftrightarrow left eginarraylxmendarray ight." />

Suy ra tập xác định của hàm số là

*
với
*
.

Hàm số xác minh trên

*
suy ra
*
.

Chọn câu trả lời A.

Dạng 2. Tính đạo hàm – Sự trở thành thiên – Min, max

A. Phương pháp

- Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cho thường gặp:

- Hàm số

*
đồng biến chuyển trên
*
.

- Hàm số

*
nghịch biến hóa trên
*
.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Tính đạo hàm các hàm số sau :

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

Lời giải:

a)

*

b)

*

c)

*

d/

*

e)

*

Ví dụ 2.2: Tính đạo hàm những hàm số sau :

a.

*
b.
*
c.
*
ln ^2x" />

d.

*
e.
*
f.
*

Lời giải:

a)

*
.

b)

*
.

c)

*
ln ^2xRightarrow y"=left< left( ln x ight)^frac23 ight>"=frac23left( ln x ight)^-frac13frac1x=frac23xsqrt<3>ln x" />.

d)

*

e)

*
=fracx^2+10x+9left( x+5 ight)left( x^2-9 ight)ln 3" />

f)

*
=fracleft( sqrtx+1 ight)8xln 10left( 1-sqrtx ight)" />

Ví dụ 2.3 (THPT chăm Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 Lần 3)Trong các hàm số sau, hàm số như thế nào đồng biến đổi trên tập khẳng định của nó?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*
là giá chỉ trị nhỏ dại nhất với giá trị lớn nhất của hàm số
*
trên
*
" />. Xác minh nào dưới đây đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Do

*
là hàm nghịch phát triển thành trên
*
" />nên
*
.

Chọn giải đáp C.

Ví dụ 2.5 (Sở GD Đà Nẵng 2017)Cho hàm số

*
. Tìm giá bán trị khủng nhất
*
của hàm số trên
*
" />.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*
.Chọn D.

Ví dụ 2.6 (THPT Thạch Thành 1 – Thanh Hóa 2017)Tìm tập hợp những giá trị của tham số

*
để thiết bị thị hàm số
*
đồng trở nên trên
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
" />. D.
*
" />.

Lời giải:

Ta có

*
.

Hàm số đồng biến hóa trên

*
khi và chỉ còn khi

*
0\Delta "=1-m^2le 0endarray ight.Leftrightarrow mge 1" />.Chọn A.

Ví dụ 2.7:Xét các số thực

*
,
*
thỏa mãn
*
b>1" />. Tìm giá trị bé dại nhất
*
của biểu thức
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Với điều kiện đề bài, ta có

*
^2}+3log _bleft( fracab ight)=4left< log _fracableft( fracab.b ight) ight>^2+3log _bleft( fracab ight)" />

*
}^2}+3log _bleft( fracab ight)." />

Đặt

*
0" />(vì
*
b>1" />), ta có
*
.

Ta có

*

Vậy

*
. điều tra khảo sát hàm số, ta có
*
.Chọn D.

Dạng 3. Đồ thị của hàm số mũ với hàm số logarit

Ví dụ3.1:Đường cong trong hình bên là vật thị của một hàm số trong tứ hàm số được liệt kê ở tư phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số sẽ là hàm số nào?

A.

*
.

B.

*
.

C.

*
.

D.

*
.

Lời giải:

Nhận thấy đấy là đồ thị của hàm số logarit

*
nên một số loại đáp án C, D.

Điểm

*
thuộc đồ dùng thị hàm số nên:

*
.

Ví dụ3.2:Tìm

*
để hàm số
*
.Chọn A.

Ví dụ3.3:Biết hàm số

*
có trang bị thị như hình bên.

Khi đó, hàm số

*
có đồ vật thị là hình như thế nào trong tư hình được liệt kê ở tư đáp án bên dưới đây?

Lời giải:

Đồ thị hàm số

*
là hàm số chẵn phải nhận Oy có tác dụng trục đối xứng.

Vậy chọn giải đáp A.

Ví dụ 3.4:Tìm toàn bộ các cực hiếm thực của

*
để hàm số
*
nên chọn đáp án C.

Ví dụ 3.5:Đồ thị hàm số

*
là hình làm sao trong tư hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D bên dưới đây:

Lời giải:

Đồ thị hàm số

*
không gồm phần nằm dưới trục hoành phải loại giải đáp C.

Hàm số

*
xác định cùng với mọi
*
0" />nên vật thị hàm số
*
không giảm trục Oy.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.6:Hình mặt là đồ gia dụng thị của bố hàm số

*
b>c" />.

B.

*
a>c" />.

C.

*
c>a" />.

D.

*
c>b" />.

Lời giải:

Do

*
và
*
là hai hàm đồng biến đổi nên
*
1" />.

Do

*
nghịch trở nên nên
*
.

Dễ thấy

*
a>c" />.Chọn B.

Dạng 4. Lãi suất ngân hàng

A. Phương pháp

* Lãi đơn:

Số chi phí lãi chỉ tính trên số tiền nơi bắt đầu mà xung quanh trên chi phí lãi vị số tiền cội sinh ra.

Công thức tính lãi đơn:

*
.

Trong đó:

*
: Số chi phí cả vốn lẫn lãi sau
*
kì hạn.

*
: Tiền nhờ cất hộ ban đầu.

*
: Số kỳ hạn tính lãi.

*
Lãi suất định kì, tính theo %.

* Lãi kép:

Là số tiền lãi không chỉ có tính bên trên số tiền gốc ngoài ra tính trên số tiền lãi bởi vì tiền gốc đó sinh ra đổi khác theo từng định kì.

- Lãi kép nhờ cất hộ một lần:

*

Trong đó:

*
: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau
*
kì hạn.

*
: Tiền giữ hộ ban đầu.

*
: Số kỳ hạn tính lãi.

*
Lãi suất định kì, tính theo %.

- Lãi kép gửi định kì

Trường thích hợp 1: chi phí được gửi vào cuối mỗi tháng.

Cuối tháng trước tiên cũng là lúc fan đó ban đầu gửi tiền:

*
.

Cuối tháng vật dụng hai, người đó gồm số tiền là:

*
=fracMleft< (1+r)-1 ight>left< (1+r)^2-1 ight>=fracMrleft< (1+r)^2-1 ight>" />

Cuối tháng lắp thêm ba:

*
(1+r)+fracMr.r=fracMrleft< (1+r)^2-1 ight>" />.

Cuối tháng sản phẩm công nghệ n, người đó bao gồm số chi phí là:

*
" />.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Bác Hiếu đầu tư chi tiêu 99 triệu đ vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất

*
một năm. Hỏi sau 5 năm mới tết đến rút chi phí lãi thì bác Hiếu thu được từng nào tiền lãi? (Giả sử rằng lãi vay hàng năm không đổi).

A.

*
triệu đồng. B.
*
triệu đồng.

C.

*
triệu đồng. D.
*
triệu đồng.

Lời giải:

Sau 5 năm bác Hiếu nhận được số chi phí lãi là

*
=48,155" />triệu đồng.

Chọn A.

Ví dụ 2.2:Cô Mai gởi 100 triệu đ vào bank theo thể thức lãi kép kì hạn 3 tháng với lãi suất

*
một quý. Hỏi sau 8 năm cô Mai thu được từng nào tiền (cả vốn lẫn lãi)? (Giả sử rằng lãi suất hàng quý không đổi).

A.

*
triệu đồng. B.
*
triệu đồng.

C.

*
triệu đồng. D.
*
triệu đồng.

Lời giải:

Một kì là 3 tháng, suy ra 8 năm là

*
kì.

Sau 8 năm cô Mai thu được số tiền là

*
triệu đồng.

Chọn B.

Ví dụ 2.3:Một nguời gửi tiết kiệm chi phí với lãi suất vay 8,4% năm cùng lãi hàng năm đuợc nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu năm ngưòi đó thu đuợc gấp rất nhiều lần số chi phí ban đầu?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Lời giải:

Gọi số tiền ban đầu là T số tiền (cả cội lẫn lãi) sau n năm là

*
(công thức lãi kép)

*
.Đáp án D.

Ví dụ 2.4(Đề minh họa năm 2017) Ông A vay thời gian ngắn ngân mặt hàng 100 triệu đồng, với lãi suất

*
trên năm. Ông mong mỏi hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ống bước đầu hoàn nợ; nhì lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền trả nợ ở các lần là tương đồng và trả hết tiền nợ sau đúng cha tháng tính từ lúc ngày vay. Hỏi, theo phong cách đó, số tiền
*
mà ông A nên trả cho ngân hàng là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không đổi khác trong thời gian ông A trả nợ.

A.

*
B.
*

C.

*
D.
*

Lời giải:

Lãi suất

*
một năm tương ứng
*
một mon nên
*
.

Sau một tháng ông A hoàn nợ 1 lần, những lần trả nợ tiếp theo sau đó một tháng. Ông A trả không còn nợ sau 3 tháng, có nghĩa là ông A trả nợ 3 lần.

Gọi

*
(đồng) là số tiền ông A trả nợ mỗi tháng.

Cuối tháng thiết bị nhất, ông A nợ

*
(triệu đồng).

Đã trả hết

*
đồng bắt buộc còn nợ
*
(triệu đồng).

Xem thêm: Msn Là Gì - Đây Là Một Thuật Ngữ Kinh Tế Tài Chính

Cuối tháng thứ hai ông A còn nợ:

*
!! ext (1+1%)-m=100(1+1%)^2-m(1+1%)" />.

Cuối mon thứ bố ông A còn nợ:<100(1+1%)2-m(1+1%)-m>(1+1%)-m=100(1+1%)3-m(1+1%)2-m=100(1+1%)3-m(1+1%)31%