Hàm số lũy vượt là những hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Những hàm số lũy thừa có tập xác minh khác nhau, tùy thuộc vào (alpha): 

- nếu (alpha) nguyên dương thì tập các định là (R).

Bạn đang xem: Hàm lũy thừa

- nếu (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập các định là (Rackslash left 0 ight\).

- Nếu (alpha ) không nguyên thì tập những định là (left( 0; + infty ight)).

Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập xác định là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập khẳng định (R), trong khi đó những hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều gồm tập xác minh ((0; +∞)). Bởi vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( hay (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là hầu hết hàm số không giống nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai phần đa (x ∈ (0; +∞)) và (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)

- nếu hàm số (u=u(x)) nhận giá trị dương và gồm đạo hàm trong vòng (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x ight)) cũng có đạo hàm trên (J) với " = alpha u^alpha - 1left( x ight)u"left( x ight)>

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường vừa lòng số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa (y=x^n) có tập khẳng định là (R) và gồm đạo hàm trên toàn trục số. Cách làm tính đạo hàm số lũy thừa tổng thể được không ngừng mở rộng thành (forall x in R,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)> nếu (u= u(x) ) có đạo hàm trong vòng (J).


4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón nguyên âm

Nếu số nón là số nguyên âm thì hàm số lũy vượt (y=x^n) tất cả tập xác định là (Rackslash left 0 ight\) và có đạo hàm tại phần đông (x) không giống (0), công thức đạo hàm hàm số lũy thừa bao quát được không ngừng mở rộng thành (forall x e 0,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)>

nếu (u= u(x) e 0) gồm đạo hàm trong tầm (J).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số (y = sqrtx) có thể xem là mở rộng lớn của hàm lũy thừa (y = x^frac1n) (tập khẳng định của (y = sqrtx) chứa tập xác định của (y = x^frac1n) và bên trên tập xác minh của (y = x^frac1n) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrtx) có tập xác minh (R). Trên khoảng tầm ((0; +∞) ) ta tất cả (y = sqrtx = x^frac1n) và (left( x^frac1n ight)" = dfrac1nx^frac1n - 1), cho nên vì vậy (left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1).


Công thức này còn đúng cả cùng với (x 0) tính theo công thức:

< left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1>

Tóm lại, ta có ( left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1) đúng với mọi (x) khiến cho hai vế tất cả nghĩa.

Xem thêm: Vĩnh Biệt Cửu Trùng Đài Giáo Án, Giáo Án Ngữ Văn 11 Bài: Vĩnh Biệt Cửu Trùng Đài

Sử dụng phép tắc đạo hàm hàm phù hợp ta suy ra: trường hợp (u=u(x)) là hàm có đạo hàm trên khoảng chừng (J) và thỏa mãn điều kiện (u(x) > 0, ∀x ∈ J) khi (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì

uleft( x ight) ight)" = dfracu"left( x ight)nsqrtu^n - 1left( x ight)>

6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng ((0; +∞))

*

Chú ý: Khi khảo sát điều tra hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) ráng thể, đề nghị xét hàm số bên trên toàn tập xác minh của nó (chứ không hẳn chỉ xét trên khoảng tầm ((0; +∞)) như trên).