Bài viết khuyên bảo nhận dạng và bí quyết giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 cùng các bài toán có tương quan đến hệ phương trình đối xứng loại 1.
I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ phương trình có dạng $left{ eginarraylfleft( x;y ight) = a\gleft( x;y ight) = bendarray ight.$ $left( I ight)$ trong đó $fleft( x;y ight)$, $gleft( x;y ight)$ là những biểu thức đối xứng, tức là $fleft( x;y ight) = fleft( y;x ight)$, $gleft( x;y ight) = gleft( y;x ight).$2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1:+ Đặt $S=x+y$, $P=xy.$+ Biểu diễn $f(x;y)$, $g(x;y)$ qua $S$ cùng $P$, ta tất cả hệ phương trình: $left{ eginarraylFleft( S;P ight) = 0\Gleft( S;P ight) = 0endarray ight.$, giải hệ phương trình này ta tìm kiếm được $S$, $P.$+ Khi đó $x$, $y$ là nghiệm của phương trình $X^2 – SX + p = 0$ $(1).$3. Một số trình diễn biểu thức đối xứng qua $S$ và $P$:$x^2 + y^2$ $ = left( x + y ight)^2 – 2xy$ $ = S^2 – 2P.$$x^3 + y^3$ $ = left( x + y ight)left( x^2 + y^2 – xy ight)$ $ = S^3 – 3SP.$$x^2y + y^2x$ $ = xyleft( x + y ight) = SP.$$x^4 + y^4$ $ = left( x^2 + y^2 ight)^2 – 2x^2y^2$ $ = left( S^2 – 2P ight)^2 – 2P^2.$4. Chú ý:+ Nếu $(x;y)$ là nghiệm của hệ $(I)$ thì $(y;x)$ cũng là nghiệm của hệ $(I).$+ Hệ $(I)$ gồm nghiệm khi $(1)$ có nghiệm hay $S^2 – 4P ge 0.$
II. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:1. $left{ eginarraylx + y + 2xy = 2\x^3 + y^3 = 8endarray ight.$2. $left{ eginarraylx^3 + y^3 = 19\left( x + y ight)left( 8 + xy ight) = 2endarray ight.$
1. Đặt $S = x + y$, $P = xy$. Lúc ấy hệ phương trình đã mang đến trở thành:$left{ eginarraylS + 2P = 2\Sleft( S^2 – 3P ight) = 8endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylP = frac2 – S2\Sleft( S^2 – frac6 – 3S2 ight) = 8endarray ight.$$ Rightarrow 2S^3 + 3S^2 – 6S – 16 = 0$ $ Leftrightarrow left( S – 2 ight)left( 2S^2 + 7S + 8 ight) = 0$ $ Leftrightarrow S = 2 Rightarrow p. = 0.$Suy ra $x$, $y$ là nghiệm của phương trình: $X^2 – 2X = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylX = 0\X = 2endarray ight.$Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $left{ eginarraylx = 0\y = 2endarray ight.$ hoặc $left{ eginarraylx = 2\y = 0endarray ight.$2. Đặt $S=x+y$, $P=xy$. Khi đó hệ phương trình đã đến trở thành:$left{ eginarraylSleft( S^2 – 3P ight) = 19\Sleft( 8 + P ight) = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylSP = – 8S\S^3 – 3left( 2 – 8S ight) = 19endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylSP = 2 – 8S\S^3 + 24S – 25 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = 1\P = – 6endarray ight.$Suy ra $x$, $y$ là nghiệm của phương trình $X^2 – X – 6 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylX = 3\X = – 2endarray ight.$Vậy hệ phương trình đang cho có cặp nghiệm: $(x;y)=(-2;3),(3;-2).$
Ví dụ 2. Giải những hệ phương trình sau:1. $left{ eginarrayl2left( x + y ight) = 3left( sqrt<3>x^2y + sqrt<3>xy^2 ight)\sqrt<3>x + sqrt<3>y = 6endarray ight.$2. $left{ eginarraylx + y + frac1x + frac1y = 4\x^2 + y^2 + frac1x^2 + frac1y^2 = 4endarray ight.$
1. Đặt $a = sqrt<3>x$, $b = sqrt<3>y$. Khi kia hệ phương trình đã mang đến trở thành:$left{ eginarrayl2left( a^3 + b^3 ight) = 3left( a^2b + b^2a ight)\a + b = 6endarray ight.$Đặt $S=a+b$, $P=ab$, ta được:$left{ eginarrayl2left( S^3 – 3SP ight) = 3SP\S = 6endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl2left( 36 – 3P ight) = 3P\S = 6endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = 6\P = 8endarray ight.$Suy ra $a$, $b$ là nghiệm của phương trình: $X^2 – 6X + 8 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylX = 2\X = 4endarray ight.$Suy ra: $left{ eginarrayla = 2 Rightarrow x = 8\b = 4 Rightarrow y = 64endarray ight.$ hoặc $left{ eginarrayla = 4 Rightarrow x = 64\b = 2 Rightarrow y = 8endarray ight.$Vậy nghiệm của hệ phương trình đã mang đến là: $left( x;y ight) = left( 8;64 ight),left( 64;8 ight).$2. Đặt $a = x + frac1x$ $b = y + frac1y$, ta tất cả hệ phương trình:$left{ eginarrayla + b = 4\a^2 + b^2 – 4 = 4endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayla + b = 4\left( a + b ight)^2 – 2ab = 8endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayla + b = 4\ab = 4endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayla = 2\b = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx + frac1x = 2\y + frac1y = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = y = 1.$Vậy hệ phương trình sẽ cho tất cả nghiệm $x=y=1.$
Ví dụ 3. Giải những hệ phương trình sau:1. $left{ eginarraylsqrt x^2 + y^2 + sqrt 2xy = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4endarray ight.$2. $left{ eginarraylx + y – sqrt xy = 3\sqrt x + 1 + sqrt y + 1 = 4endarray ight.$
1. Điều kiện: $x,y ge 0.$Đặt $t = sqrt xy ge 0$, ta có: $xy = t^2$ và từ $sqrt x + sqrt y = 4$ $ Rightarrow x + y = 16 – 2t.$Thế vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình, ta được:$sqrt t^2 – 32t + 128 = 8 – t$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylt le 8\t^2 – 32t + 128 = left( t – 8 ight)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow t = 4.$Suy ra: $left{ eginarraylxy = 16\x + y = 8endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = 4\y = 4endarray ight.$Vậy hệ phương trình vẫn cho có nghiệm: $x=y=4.$2. Điều kiện: $left{ eginarraylxy ge 0\x,y ge – 1endarray ight.$Đặt $S=x+y$, $P=xy$ ta có: $left{ eginarraylS – sqrt phường = 3\S + 2 + 2sqrt S + p + 1 = 16endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS ge 3;P = left( S – 3 ight)^2\2sqrt S + left( S – 3 ight)^2 + 1 = 14 – Sendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl3 le S le 14;P = left( S – 3 ight)^2\4left( S^2 + 8S + 10 ight) = 196 – 28S + S^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl3 le S le 14;P = left( S – 3 ight)^2\S^2 + 30S – 52 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = 6\P = 9endarray ight.$ $ Rightarrow x = y = 3.$Vậy hệ phương trình sẽ cho bao gồm nghiệm: $(x;y)=(3;3).$
Ví dụ 4. Giải những hệ phương trình sau:1. $left{ eginarraylsqrt<4>y^3 – 1 + sqrt x = 3\x^2 + y^3 = 82endarray ight.$2. $left{ eginarraylsqrt fracxy + sqrt fracyx = frac7sqrt xy + 1\sqrt x^3y + sqrt y^3x = 78endarray ight.$
1. Đặt $u = sqrt x $ và $v = sqrt<4>y^3 – 1$. Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành:$left{ eginarraylu + v = 3\u^4 + left( v^4 + 1
ight) = 82endarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylu + v = 3\u^4 + v^4 = 81endarray
ight.$ $left( *
ight)$Đặt $S=u+v$, $P=uv$. Với đk $S^2 – 4P ge 0$ thì hệ $(*)$ được viết lại:$left{ eginarraylS = 3\S^4 – 4S^2P + 2S^2 = 81endarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = 3\P^2 – 18P = 0endarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylP = 0\S = 3endarray
ight.$ hoặc $left{ eginarraylP = 18\S = 3endarray
ight.$+ Trường đúng theo 1: với $S=3$, $P=0$, suy ra $u$, $v$ là nghiệm của phương trình: $X^2 – 3X = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylX = 0\X = 3endarray
ight.$Khi đó: $left{ eginarraylu = 0\v = 3endarray
ight. Rightarrow left{ eginarraylx = 0\y = sqrt<3>82endarray
ight.$ hoặc $left{ eginarraylu = 3\v = 0endarray
ight. Rightarrow left{ eginarraylx = 9\y = 1endarray
ight.$+ Trường hòa hợp 2: $P=18$, $S=3$ không thỏa mãn điều kiện bởi $S^2 – 4P Vậy hệ phương trình vẫn cho có nghiệm: $left( x;y
ight) = left( 0;sqrt<3>82
ight)$, $left( 9;1
ight).$2. Điều kiện: $xy>0.$+ Trường vừa lòng 1: $x>0$, $y>0$, ta đặt: $u = sqrt x ,v = sqrt y .$+ Trường phù hợp 2: $xCả 2 trường phù hợp đều đem đến hệ phương trình:$left{ eginarraylfracuv + fracvu = frac7uv + 1\u^3v + v^3u = 78endarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylu^2 + v^2 = uv + 7\uvleft( u^2 + v^2
ight) = 78endarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS^2 – 3P = 7\Pleft( S^2 – 2P
ight) = 78endarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS^2 = 3P + 7\Pleft( P + 7
ight) = 78endarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS^2 = 3P + 7\P^2 + 7P – 78 = 0endarray
ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylP = 6\S = pm 5endarray
ight.$Từ kia ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã mang đến là: $(x;y)=(-9;-4),(-4;-9),(4;9)(9;4).$
1. Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có: $left{ eginarraylS = m\S^2 – 2P = 2m + 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = m\P = frac12left( m^2 – 2m – 1 ight)endarray ight.$Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ còn khi: $S^2 – 4P ge 0$ $ Leftrightarrow m^2 – 2left( m^2 – 2m – 1 ight)$ $ = – m^2 + 4m + 2 ge 0$ $ Leftrightarrow 2 – sqrt 6 le m le 2 + sqrt 6 .$2. Đặt $a = x + frac1x$, $b = y + frac1y$ $ Rightarrow left| a ight| ge 2;left| b ight| ge 2.$Hệ phương trình đã mang đến trở thành: $left{ eginarrayla + b = 5\a^3 + b^3 – 3left( a + b ight) = 15m – 10endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayla + b = 5\ab = 8 – mendarray ight.$Suy ra $a$, $b$ là nghiệm của phương trình: $X^2 – 5X + 8 – m = 0$ $ Leftrightarrow X^2 – 5X + 8 = m$ $(1).$Hệ phương trình đang cho có nghiệm khi còn chỉ khi $(1)$ tất cả hai nghiệm minh bạch thỏa: $left| X ight| ge 2.$Xét tam thức $fleft( X ight) = X^2 – 5X + 8$ với $left| X ight| ge 2$, ta tất cả bảng trở thành thiên sau:
Dựa vào bảng vươn lên là thiên suy ra $(1)$ gồm hai nghiệm thỏa $left| X ight| ge 2$ khi và chỉ còn khi $left< eginarraylm ge 22\frac74 le m le 2endarray ight.$
Ví dụ 6. Search $m$ nhằm hệ phương trình $left{ eginarraylx + y + xy = m\x^2 + y^2 = mendarray ight.$ $(*)$ tất cả nghiệm.
Ta có: $left( * ight) Leftrightarrow left{ eginarraylx + y + xy = m\left( x + y ight)^2 – 2xy = mendarray ight.$Đặt $left{ eginarraylS = x + y\P = xyendarray ight.$, điều kiện $S^2 ge 4P$, ta tất cả hệ phương trình:$left{ eginarraylS + phường = m\S^2 – 2P = mendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS + p. = m\S^2 + 2S – 3m = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylleft{ eginarraylS = – 1 + sqrt 1 + 3m \P = m + 1 – sqrt 1 + 3mendarray ight.\left{ eginarraylS = – 1 – sqrt 1 + 3m \P = m + 1 + sqrt 1 + 3mendarray ight.endarray ight.$Hệ phương trình đang cho bao gồm nghiệm khi và chỉ khi: $S^2 ge 4P.$+ Trường hòa hợp 1. Với $left{ eginarraylS = – 1 + sqrt 1 + 3m \P = m + 1 – sqrt 1 + 3mendarray ight.$, ta có: $left( – 1 + sqrt 1 + 3m ight)^2$ $ ge 4left( m + 1 – sqrt 1 + 3m ight)$ $ Leftrightarrow 2sqrt 1 + 3m ge m + 2$ $ Leftrightarrow left< eginarraylleft{ eginarraylm + 2 le 0\1 + 3m ge 0endarray ight.\left{ eginarraylm + 2 ge 0\4left( 1 + 3m ight) ge left( m + 2 ight)^2endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow 0 le m le 8.$+ Trường hợp 2. Với $left{ eginarraylS = – 1 – sqrt 1 + 3m \P = m + 1 + sqrt 1 + 3mendarray ight.$, ta có: $left( – 1 – sqrt 1 + 3m ight)^2$ $ ge 4left( m + 1 + sqrt 1 + 3m ight)$ $ Leftrightarrow 3sqrt 1 + 3m le – m – 2$, dễ thấy bất phương trình này vô nghiệm bởi $–m-2Vậy hệ phương trình vẫn cho gồm nghiệm khi còn chỉ khi $0 le m le 8.$
Ví dụ 7. Mang đến $x$, $y$, $z$ là nghiệm của hệ phương trình $left{ eginarraylx^2 + y^2 + z^2 = 8\xy + yz + zx = 4endarray ight.$. Chứng minh: $ – frac83 le x,y,z le frac83.$
Ta có: $left{ eginarraylx^2 + y^2 + z^2 = 8\xy + yz + zx = 4endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx^2 + y^2 = 8 – z^2\xy + zleft( x + y ight) = 4endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x + y ight)^2 – 2xy = 8 – z^2\xy + zleft( x + y ight) = 4endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x + y ight)^2 – 2left< 4 – zleft( x + y ight) ight> = 8 – z^2\xy + zleft( x + y ight) = 4endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x + y ight)^2 + 2zleft( x + y ight) + left( z^2 – 16 ight) = 0\xy + zleft( x + y ight) = 4endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx + y = 4 – z\xy = left( z – 2 ight)^2endarray ight.$ hoặc $left{ eginarraylx + y = – 4 – z\xy = left( z + 2 ight)^2endarray ight.$Do $x$, $y$, $z$ là nghiệm của hệ phương trình $left{ eginarraylx^2 + y^2 + z^2 = 8\xy + yz + zx = 4endarray ight.$ nên: $left( x + y ight)^2 ge 4xy$ $ Leftrightarrow left< eginarraylleft( 4 – z ight)^2 ge 4left( z – 2 ight)^2\left( – 4 – z ight)^2 ge 4left( z + 2 ight)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow – frac83 le z le frac83.$Đổi phương châm $x$, $y$, $z$ ta được: $ – frac83 le x,y,z le frac83.$
Ví dụ 8. Mang lại hai số thực $x$, $y$ thỏa $x + y = 1$. Tìm giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = x^3 + y^3.$
Xét hệ phương trình: $left{ eginarraylx + y = 1\x^3 + y^3 = Aendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = 1\Sleft( S^2 – 3P ight) = Aendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = 1\P = frac1 – A3endarray ight.$Ta có: $x$, $y$ mãi mãi $ Leftrightarrow $ hệ bao gồm nghiệm $ Leftrightarrow S^2 – 4P ge 0$ $ Leftrightarrow 1 – 4frac1 – A3 ge 0$ $ Leftrightarrow A ge frac14.$Vậy giá bán trị nhỏ nhất của $A$ là $min A = frac14$ $ Leftrightarrow x = y = frac12.$
Ví dụ 9.
Bạn đang xem: Giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Xem thêm: Tẩy Thẻ Là Gì ? Tại Sao Các Cầu Thủ Lại Muốn Tẩy Thẻ Tẩy Thẻ Là Gì
Cho những số thực $x
e 0,y
e 0$ thỏa mãn: $left( x + y
ight)xy = x^2 + y^2 – xy.$ Tìm giá bán trị lớn số 1 của biểu thức: $A = frac1x^3 + frac1y^3.$
Xét hệ phương trình: $left{ eginarraylleft( x + y ight)xy = x^2 + y^2 – xy\frac1x^3 + frac1y^3 = Aendarray ight.$Đặt $a = frac1x$, $b = frac1y$ $left( a,b e 0 ight)$, hệ phương trình trên trở thành: $left{ eginarrayla + b = a^2 + b^2 – ab\a^3 + b^3 = Aendarray ight.$Đặt $S=a+b$, $P=ab$, ta có: $left{ eginarraylS = S^2 – 3P\Sleft( S^2 – 3P ight) = Aendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylS^2 = A\3P = S^2 – Sendarray ight.$Từ $a + b = a^2 + b^2 – ab > 0$, suy ra $S > 0.$Hệ phương trình này còn có nghiệm $ Leftrightarrow S^2 ge 4P$ $ Leftrightarrow 3S^2 ge 4left( S^2 – S ight)$ $ Leftrightarrow S le 4$ $ Leftrightarrow A = S^2 le 16.$Đẳng thức xẩy ra $ Leftrightarrow left{ eginarraylS = 4\P = fracS^2 – S3 = 4endarray ight.$ $ Leftrightarrow a = b = 2$ $ Leftrightarrow x = y = frac12.$Vậy giá bán trị lớn nhất của $A$ là $max A = 16$ $ Leftrightarrow x = y = frac12.$
Ví dụ 10. đến $x$, $y$ thỏa mãn $x – 3sqrt y + 2 = 3sqrt x + 1 – y.$ Tìm giá bán trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $A=x+y.$
Xét hệ phương trình: $left{ eginarraylx – 3sqrt y + 2 = 3sqrt x + 1 – y\x + y = Aendarray ight.$Đặt $a = sqrt x + 1 $, $b = sqrt y + 2 $ $ Rightarrow a,b ge 0.$Hệ phương trình bên trên trở thành: $left{ eginarrayla^2 + b^2 – 3left( a + b ight) – 3 = 0\a^2 + b^2 = A + 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayla + b = fracA3 = S\ab = fracA^2 – 9A – 2718 = Pendarray ight.$Suy ra hệ phương trình đã cho tất cả nghiệm $ Leftrightarrow left{ eginarraylS ge 0\P ge 0\S^2 ge 4Pendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylA ge 0\A^2 – 9A – 27 ge 0\A^2 – 18A – 54 le 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylA ge 0\A le frac9 – 3sqrt 21 2 : hoặc : A ge frac9 + 3sqrt 21 2\9 – 3sqrt 15 le A le 9 + 3sqrt 15endarray ight.$Vậy $min A = frac9 + 3sqrt 21 2$ và $max A = 9 + 3sqrt 15 .$