Giải bài tập toán 11 trang 132

Hướng dẫn giải bài bác §2. Giới hạn của hàm số, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số và Giải tích 11 bao hàm tổng thích hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài bác tập đại số cùng giải tích bao gồm trong SGK để giúp đỡ các em học viên học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 132

Lý thuyết

I. số lượng giới hạn hữu hạn

Cho khoảng tầm (K) chứa điểm (x_0) với hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc bên trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) cùng (x_n ightarrow x_0), ta có

(lim f(x_n) =L).

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng ((x_0; b)).

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi và chỉ khi hàng số ((xn) bất kì, (x_0 a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng chừng ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_nII. Số lượng giới hạn vô cực

Sau đó là hai trong số nhiều loại số lượng giới hạn vô cực khác nhau:

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng ((a; +∞)), (undersetx ightarrow+infty lim f(x) = -∞) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta có (lim f(x_n) = -∞)

Cho khoảng tầm (K) cất điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc bên trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) còn chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) với (x_n ightarrow x_0) thì ta tất cả (lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có số lượng giới hạn (+∞ ) khi và chỉ còn khi (-f(x)) có số lượng giới hạn (-∞).

III. Những giới hạn đặc biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), ví như (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , ví như (k) là số chẵn.

IV. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn

Định lí 1:

a) ví như (undersetx ightarrow x__0lim = L) cùng (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);

(undersetx ightarrow x__0lim

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).

b) nếu như (f(x) ≥ 0) với (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào lúc (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

V. Quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

b) quy tắc tìm giới hạn của yêu mến (fracf(x)g(x))

(Dấu của (g(x)) xét bên trên một khoảng (K) như thế nào đó đang tính giới hạn, với (x ≠ x_0) ).

Dưới đó là phần phía dẫn trả lời các thắc mắc và bài xích tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 123 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Xét hàm số:

(displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1)

1. Cho biến hóa x phần đa giá trị khác 1 lập thành hàng số xn, xn → 1 như vào bảng sau:

Khi đó, các giá trị khớp ứng của hàm số f(x1), f(x2),…, f(xn), …

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)).

a) minh chứng rằng (fleft( x_n ight) = 2x_n = dfrac2n + 2n)

b) Tìm số lượng giới hạn của dãy số (f(xn)).

2. Chứng minh rằng với hàng số bất cứ xn, xn ≠ 1 cùng xn → 1, ta luôn có f(xn) → 2.

(Với tính chất thể hiện nay trong câu 2, ta nói hàm số (displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1) có giới hạn là 2 khi x dần dần tới 1).

Trả lời:

Ta có:

1. A) (displaystyle f(x_n) = 2x_n^2 – 2x_n over x_n – 1 = 2x_n(x_n – 1) over x_n – 1 ) (= 2x_n)

(displaystyle x_n = n+1 over n ) (displaystyle Rightarrow f(x_n) = 2x_n = 2.n+1 over n = 2n+2 over n)

b) (displaystyle mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) ) (displaystyle = mathop lim limits_n o + infty (2n+2 over n – 2) = mathop lim limits_n o + infty 2 over n)

Ta có: (displaystyle mathop lim limits_n o + infty 2 over n = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty f(x_n) = 2)

2. (lim f(x_n) = lim,2x_n ) (= 2lim x_n = 2.1 = 2)

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 127 sgk Đại số với Giải tích 11

Trong biểu thức (1) xác định hàm số $y = f(x)$ nghỉ ngơi Ví dụ 4, đề nghị thay $2$ ngay số nào để hàm số có số lượng giới hạn là $-2$ lúc $x → 1$?

Trả lời:

Để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) tại (x = 1) thì (mathop lim limits_x o 1^ + fleft( x ight) = mathop lim limits_x o 1^ – fleft( x ight) = – 2) tốt (5.1 + c = – 2 Leftrightarrow c = – 7).

Vậy bắt buộc thay (2) bởi ( – 7) để hàm số có giới hạn bằng ( – 2) tại (x = 1).

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 127 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số $f(x) = 1 over x – 2$ tất cả đồ thị như nghỉ ngơi Hình 52

Quan giáp đồ thị và đến biết:

– Khi biến $x$ dần dần tới dương vô cực, thì f(x) dần dần tới giá trị nào.

– Khi thay đổi $x$ dần dần tới âm vô cực, thì f(x) dần dần tới quý hiếm nào.

Trả lời:

– Khi đổi thay $x$ dần tới dương vô cực, thì $f(x)$ dần tới cực hiếm dương vô cực

– Khi biến đổi $x$ dần dần tới âm vô cực, thì $f(x)$ dần dần tới quý hiếm âm vô cực

Dưới đó là phần lí giải giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Các bạn hãy phát âm kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

girbakalim.net trình làng với chúng ta đầy đủ phương pháp giải bài xích tập đại số với giải tích 11 kèm bài xích giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11 của bài xích §2. Giới hạn của hàm số trong Chương IV. Giới hạn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập các bạn xem dưới đây:

Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 132 sgk Đại số với Giải tích 11

Dùng khái niệm tìm các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 4limfracx+13x – 2);

b) (undersetx ightarrow +infty limfrac2-5x^2x^2+3).

Bài giải:

a) Hàm số (f(x) = fracx +13x – 2) xác định trên (mathbb Rackslash left 2 over 3 ight\) cùng ta gồm (x = 4 in left( 2 over 3; + infty ight))

Giả sử ((x_n)) là dãy số bất cứ và (x_n ∈ left( 2 over 3; + infty ight)); (x_n≠ 4) và (x_n→ 4) lúc (n o + infty ).

Ta bao gồm (lim f(x_n) = lim fracx_n +13x_n – 2 = frac4 + 13. 4 – 2 = frac12).

Vậy (undersetx ightarrow 4lim) (fracx +13x – 2) = (frac12).

b) Hàm số (f(x)) = (frac2-5x^2x^2+3) xác minh trên (mathbb R).

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất kỳ và (x_n→ +∞) khi (n o + infty )

Ta bao gồm (lim f(x_n) = lim frac2-5x^2_nx^2_n+3= lim fracfrac2x^2_n-51+frac3x^2_n = -5).

Vậy (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-5x^2x^2+3 = -5).

2. Giải bài bác 2 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số

(f(x) = left{ matrix{sqrt x + 1 ext giả dụ xge 0 hfill cr2x ext trường hợp x 0) cùng (v_n= -frac1n (x → 0).

3. Giải bài bác 3 trang 132 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1);

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2);

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6);

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x);

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1);

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x).

Bài giải:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1) = (frac(-3)^2-1-3 +1 = -4).

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim) (frac (2-x)(2+x)x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim (2-x) = 4).

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6)

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac(sqrtx + 3-3)(sqrtx + 3+3 )(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (fracx +3-9(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac1sqrtx+3+3) = (frac16).

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-frac6xfrac4x-1 = -2).

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1 = 0)

vì (undersetx ightarrow +infty lim) ((x^2+ 1) =) (undersetx ightarrow +infty lim x^2( 1 + frac1x^2) = +∞).

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2+frac1x -frac1x^2frac3x^2 +frac1x = -∞),

vì (frac3x^2+frac1x > 0) cùng với (∀x>0).

4. Giải bài xích 4 trang 132 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2);

b) (undersetx ightarrow 1^-lim) (frac2x -7x-1);

c) (undersetx ightarrow 1^+lim) (frac2x -7x-1).

Bài giải:

a) Ta có (undersetx ightarrow 2lim (x – 2)^2= 0) với ((x – 2)^2> 0) cùng với (∀x ≠ 2) và (undersetx ightarrow 2lim (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0).

Do kia (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2 = +∞).

b) Ta tất cả (undersetx ightarrow 1^-lim (x – 1)=0) với (x – 1 0) cùng với (∀x > 1) với (undersetx ightarrow 1^+lim (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5

5. Giải bài xích 5 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số (f(x) = fracx+2x^2-9) có đồ thị như trên hình 53.

a) Quan gần kề đồ thị cùng nêu dấn xét về cực hiếm hàm số đã đến khi (x → -∞), (x → 3^-) và (x → -3^+)

b) Kiểm tra những nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng ((-infty; -3)),

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng chừng ((-3,3)),

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-3; 3)).

Bài giải:

a) Quan gần kề đồ thị ta thấy:

Khi (x → -∞) thì (f(x) → 0);

Khi (x → 3^-) thì (f(x) → -∞);

Khi (x → -3^+) thì (f(x) → +∞).

b) Ta có:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x) = undersetx ightarrow -infty lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -infty lim) (fracfrac1x+frac2x^21-frac9x^2 = 0).

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x) = undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3.frac1x-3 = -∞ ) do (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3) = (frac56 > 0) với (undersetx ightarrow 3^-lim frac1x-3 = -∞).

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x) =) (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) . (frac1x+3 = +∞)vì (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) = (frac-1-6) = (frac16 > 0) cùng (undersetx ightarrow -3^+lim) (frac1x+3 = +∞).

6. Giải bài bác 6 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính:

(eqalign& a)mathop lim limits_x o + infty (x^4 – x^2 + x – 1) cr& b)mathop lim limits_x o – infty ( – 2x^3 + 3x^2 – 5) cr& c)mathop lim limits_x o – infty (sqrt x^2 – 2x + 5) cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x cr )

Bài giải:

Ta có:

(eqalignsqrt 1 – 2 over x + 5 over x^2 = + infty cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty xleft( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 over x – 2 = – 1 cr )

7. Giải bài xích 7 trang 133 sgk Đại số và Giải tích 11

Một thấu kính quy tụ có tiêu cự là (f). Hotline (d) cùng (d’) thứu tự là khoảng cách từ một trang bị thật (AB) với từ hình ảnh (A’B’) của nó tới quang vai trung phong (O) của thấu kính (h.54). Cách làm thấu kính là (frac1d+frac1d’=frac1f.)

a) tìm biểu thức xác minh hàm số (d’ = φ(d)).

b) search (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d)), (undersetd ightarrow f^- lim φ(d)) với (undersetd ightarrow +infty lim φ(d)). Giải thích ý nghĩa sâu sắc của các tác dụng tìm được.

Bài giải:

a) tự hệ thức (frac1d+frac1d’=frac1f.) Suy ra (d’ = φ(d) = fracfdd-f).

b) (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d) = undersetd ightarrow f^+ lim) (fracfdd-f= +∞) .

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F thế nào cho d luôn to hơn f thì hình ảnh của nó dần tới dương vô cực.

(undersetd ightarrow f^- limφ(d) =) (undersetd ightarrow f^- lim) (fracfdd-f = -∞).

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F làm sao cho d luôn nhỏ dại hơn f thì hình ảnh của nó dần dần tới âm vô sực.

(undersetd ightarrow +infty lim φ(d) =) (undersetd ightarrow +infty lim) (fracfdd-f) = (undersetd ightarrow +infty lim) (fracf1-fracfd = f).

Xem thêm: Đặt Tên Con Trai Năm 2022 Ý Nghĩa Giúp Tiền Đồ Rộng Mở, Tên Con Trai 2022 Hay

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB sinh sống xa vô rất so với thấu kính thì hình ảnh của nó sinh hoạt ngay bên trên tiêu diện hình ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F’ và vuông góc cùng với trục chính).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài tốt cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11!