Giải Bài Tập Phương Trình Đường Tròn, Phương Trình Đường Tròn

Các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn là giữa những nội dung mà nhiều người cảm thấy "dễ thở hơn" vì chưng nội dung cũng khá ví dụ và dễ hiểu, mặc dù nội dung này cũng rất đầy đủ các bài xích tập khó nhằn đâu nhé.

Bạn đang xem: Giải bài tập phương trình đường tròn

Vì vậy, trong bài viết này bọn họ cùng khối hệ thống lại những dạng bài bác tập toán về phương trình con đường tròn, vận dụng giải qua các ví dụ minh hoạ núm thể, để từ đó những em thuận lợi vận dụng và phân các loại khi chạm chán các dạng bài bác tập về con đường tròn.

Đây cũng là nội dung gốc rễ cho kiến thức và kỹ năng về mặt ước trong không gian ở lớp 12, và trước khi bắt tay vào giải các dạng bài xích tập đường tròn thì họ phải nắm vững được đặc điểm của con đường tròn qua phần lý thuyết.

I. Lý thuyết về phương trình đường tròn

1. Phương trình con đường tròn:

- Phương trình đường tròn có tâm I(a;b), nửa đường kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

- ví như a2 + b2 - c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của con đường tròn tâm I(a;b), cung cấp kính

2. Phương trình tiếp đường của đường tròn

- mang đến điểm M0(x0; y0) nằm trên phố tròn (C) trung khu I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) tất cả phương trình:

(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

II. Các dạng bài bác tập phương trình con đường tròn.

• Dạng 1: nhấn dạng phương trình con đường tròn, tìm điều kiện để 1 PT là phương trình mặt đường tròn

* Phương pháp:

+) giải pháp 1: Đưa phương trình đã mang đến về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = phường (*)

- Nếu phường > 0 thì (*) là PT đường tròn trọng tâm I(a;b) và buôn bán kính

- giả dụ P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT mặt đường tròn.

+) giải pháp 2: Đưa phương trình đã mang lại về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (**)

° Đặt phường = a2 + b2 - c

- Nếu p > 0 thì (**) là PT mặt đường tròn trọng điểm I(a;b) và bán kính

- nếu P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT mặt đường tròn.

Ví dụ 1: Trong những phương trình sau, phương trình nào trình diễn phương trình đường tròn, tìm trọng điểm và nửa đường kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta bao gồm a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- tương tự như có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

- giống như có: a2 + b2 - c = (2)2 + (1)2 + 3 = 8 > 0, đấy là phương trình đường tròn vai trung phong I(2;1) nửa đường kính R=2√2.

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này chưa hẳn pt mặt đường tròn vì thông số của x2 và y2 khác nhau.

Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình con đường tròn.

b) lúc (Cm) là pt mặt đường tròn kiếm tìm toạ độ trung khu và bán kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (Cm) là phương trình con đường tròn thì: mét vuông +<2(m-2)>2 - (6 -m) > 0

⇔ m2 + 4m2 - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0

⇔ m2 - 3m + 2 > 0

⇔ m 2

b) Với đk trên thì (Cm) bao gồm tâm I và phân phối kính

Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là mặt đường tròn

b) Xác định α để (Cα) có bán kính lớn nhất

c) search quỹ tính trọng điểm I của (Cα)

* Lời giải:

a) Để (Cα) là mặt đường tròn thì : cos2α + sin2α - cos2α > 0

- Ta có; VT = cos2α + sin2α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kπ)

- lưu ý: Nếu α = kπ con đường tròn là một điểm.

b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

⇒ Rmax = √2 khi sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα gồm toạ độ trọng điểm I(cosα; sinα) tức là:

khử α ta có: x2 + y2 = 1 đó là quỹ tích trung ương I của Cα.

• Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua những điểm

* Phương pháp:

° Cách 1:

- search toạ độ trung ương I(a;b) của con đường tròn (C)

- Tìm bán kính R của (C)

- Viết phương trình mặt đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° phương pháp 2: Giả sử phương trình mặt đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- Từ điều kiện bài toán cho tùy chỉnh hệ pt 3 ẩn a, b, c

- Giải hệ tìm kiếm a, b, c thế vào pt con đường tròn (C).

* lưu ý: Đường tròn (C) trải qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 với thường được áp dụng vào câu hỏi yêu mong viết phương trình mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt mặt đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

Ví dụ: Lập phương trình con đường tròn (C) trong các trường đúng theo sau:

a) gồm tâm I(1;-3) và trải qua điểm O(0;0)

b) Có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) bao gồm tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0):

- Ta có R = OI, mà

⇒ Đường tròn (C) gồm tâm I(1;-3) và bán kính

có pt:

(x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta bao gồm toạ độ trọng tâm I của (C) là trung điểm A,B là:

- bán kính

⇒ Đường tròn (C) gồm tâm I(3;2) và bán kính

có pt:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) trải qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) tất cả dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- do (C) trải qua A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào pt con đường tròn (C) ta có hệ sau:

- Giải hệ trên ta được

⇒ Đường tròn (C) là:

• Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

* Phương pháp: nhờ vào tính chất tiếp tuyến

- Đường tròn (C) xúc tiếp với đường thẳng (Δ) thì: d = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ) trên điểm A thì: d = IA = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 mặt đường thẳng (Δ1) và (Δ2) thì: d = d = R

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hòa hợp sau:

a) (C) có tâm I(2;5) với tiếp xúc với Ox

b) (C) bao gồm tâm I(-1;2) cùng tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) trải qua A(2;-1) với tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(2;5) cùng tiếp xúc cùng với Ox

- Ox bao gồm phương trình: y = 0

- nửa đường kính R của đường tròn là khoảng cách từ I mang lại Ox ta có:

⇒ Phương trình mặt đường tròn (C) có dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) bao gồm tâm I(-1;2) cùng tiếp xúc với con đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:

⇒ Phương trình mặt đường tròn (C) có dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) trải qua A(2;-1) với tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- vày A nằm tại vị trí góc phần bốn thứ tư cần đường tròn cũng nằm trong góc phần tư thứ tứ này, bắt buộc toạ độ trọng tâm I=(R;-R).

- Ta có:

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy bao gồm 2 đường tròn thoả mãn đk bài toán là:

(C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

(C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 cùng (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình con đường tròn có nửa đường kính bằng R=√10 có tâm thuộc d1 với tiếp xúc cùng với d2.

* Lời giải:

- trung ương I ∈ d1 đề xuất I(-2a+3;a) vì chưng (C) xúc tiếp với d2 buộc phải ta có:

⇒ I1(19;-8) cùng I2(-21;12)

⇒ có 2 con đường tròn thoả mãn đk là:

(C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

(C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 với (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình mặt đường tròn có tâm nằm trong (d): x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) bởi vì (C) xúc tiếp với (d1) và (d2) đề xuất ta có:

⇒ Vậy tất cả 2 mặt đường tròn chấp nhận điều kiện.

- cùng với a = -12 thì I(-25;-12),

Phương trình con đường tròn (C1):

- Với

thì

Phương trình đường tròn (C2):

• Dạng 4: Viết phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° giải pháp 1:

- Tính diện tích s S và nửa chu vi phường của tam giác nhằm tính được nửa đường kính đường tròn

- hotline I(a;b) là trung tâm của mặt đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác đều bằng nhau và bằng r, từ đó lập thành hệ pt cùng với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a, b và phương trình mặt đường tròn.

° giải pháp 2:

- Viết phương trình con đường phân giác vào của 2 góc vào tam giác.

- tìm giao điểm 2 đường phân giác kia ta được trung tâm I của mặt đường tròn

- Tính khoảng cách từ I tới 1 cạnh ngẫu nhiên của tam giác ta được chào bán kính.

Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) và B(0;3)

a) Viết phương trình mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông tại O cần tâm của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB nên tâm toạ độ trung tâm I của con đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ buôn bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: