hầu hết đường chưa phải là con đường thẳng hay được call là mặt đường cong, và "Stoikeia" của Euclid, một tác phẩm kinh điển của toán học, cũng có quan điểm này. Mặc dù nhiên, vào toán học hiện đại, con đường cong đồng nghĩa với đường thẳng, và đường thẳng cũng được bao hàm trong chúng. Euclid tuyên cha rằng "một đoạn thẳng là 1 trong những chiều dài không có chiều rộng với điểm cuối của nó là một trong những điểm", chỉ dẫn lời phân tích và lý giải cơ bản về một đường, nghĩa là 1 đường cong. Nhưng lại đây ko phải là 1 trong những định nghĩa hoàn chỉnh. Tự Euclid cho tới nửa sau của thay kỷ 19, đường cong được thực hiện như một khái niệm đều đều mà ko được chỉ dẫn định nghĩa, nhưng thời nay chúng được quan niệm bằng trình diễn phân tích.
Bạn đang xem: Đường cong là gì
Đầu tiên, bọn họ hãy biểu thị một mặt đường cong mặt phẳng, có nghĩa là một đường cong bên trên một phương diện phẳng. Đây được xem là hình được tạo thành khi một điểm hoạt động trên khía cạnh phẳng. Vày đó, giới thiệu tọa độ trực giao trên mặt phẳng, nếu địa điểm của điểm tại thời gian t (x, y) và x, y được trình diễn bởi t của hàm f (t), g (t ). Rộng nữa, nếu như xét các điểm gồm tọa độ là ( f ( t ), g ( t )) với đa số t vào một đoạn tuyệt nhất định, tất cả chúng mọi là những đường cong ban đầu. Vì lý do này, một mặt đường cong phẳng là lúc f với g được khẳng định là một hàm được khẳng định trong một khoảng và các điểm ( f ( t ), g ( t )) được xem là với phần đa t thuộc khoảng đó. Rất có thể nói, đó là 1 trong con số làm cho được. Đường cong này được màn trình diễn bởi x = f ( t ) cùng y = g ( t ), cùng đây được gọi là màn biểu diễn tham số do tham số t. Ví dụ, một mặt đường thẳng trải qua hai điểm (a, b ), ( c , d ) áp dụng t thuộc toàn cục khoảng (-∞, ∞) có tác dụng tham số và x = a + ( c - a ) t , y = b +. ( D - b ) Được thể hiện dưới dạng t (Hình.) 1 ), (A, chu vi bán kính r gồm tâm trên b), là thay đổi trung gian t thuộc khoảng đóng <0,2π>, x = a + r cos t, y = b + r sin t cùng bảng được xong ( nhân đồ dùng 2 ). Đồ thị của hàm số y = f ( x ) được hiển thị dưới dạng thông số với x = t cùng y = f ( t). Nếu như f và g là các hàm liên tiếp thì con đường cong biểu diễn bởi x = f ( t ) cùng y = g ( t ) được call là mặt đường cong liên tục. Đường cong tiếp tục khi miền của f và g là một khoảng đóng < a , b > được gọi là cung tuyệt đường. Tại thời gian này, ( f ( a ), g ( a )) được gọi là điểm đầu, cùng ( f ( b ), g ( b )) được gọi là vấn đề cuối. Cả nhị được điện thoại tư vấn chung là vấn đề cuối. Một cung có các điểm cuối cân xứng được gọi là 1 trong đường cong khép bí mật hoặc vòng lặp vòng lặp. Lúc t ≠ t ′ và ( f ( t ), g ( t )), ( f ( t ′), g ( t ′)) biểu diễn cùng một điểm, điểm này được gọi là điểm trùng nhau. Một cung không tồn tại các điểm trùng nhau được gọi là một trong những cung đơn giản và một cung không có các điểm trùng nhau ngoài những điểm cuối được gọi là 1 trong đường cong khép bí mật đơn giản hoặc một đường cong Jordan. Một cung dễ dàng cùng trộn với một đoạn thẳng với một đường cong khép kín đáo duy nhất thuộc pha cùng với chu vi. Một đường cong khép kín duy nhất phân chia máy bay thành nhị vùng, phía bên trong và bên ngoài. Khi nhì điểm bất kỳ trong một tập hợp bao gồm 1 đường cong khép bí mật duy tuyệt nhất và các điểm phía bên trong nó luôn luôn được nối với nhau bằng một đoạn trực tiếp trong tập phù hợp đó, thì con đường cong đóng đơn ban sơ được điện thoại tư vấn là con đường cong hình bầu dục hoặc mặt đường cong đóng góp lồi. Trong các các mặt đường cong liên tục, có những cung tròn (đường cong Peano) che đầy phía bên trong một hình vuông vắn và các đường cong 1-1 khép bí mật không thể tiếp con đường với bất kỳ đường cong nào trong số chúng. Uốn cong và miêu tả tình trạng bệnh lý như vậy, tránh mặt đường cong, chẳng hạn như cung bị thoái hóa cho điểm, để đảm bảo hơn nữa độ trơn tru của con đường cong, thông thường, khi con đường cong đó, với số đông tất cả t, f (t ), G ( t ) rất có thể phân biệt với bất kỳ số lần nào, với giả thiết rằng những đạo hàm f ′ ( t ) cùng g ′ ( t ) không biến đổi 0 đồng thời. Tích phân cho a cùng b trong khái niệm của f và g,
Đường cong C của thông số x = f (t), bằng phương pháp xóa t khỏi phương trình y = g (t), F (x, y) = 0 chiếm được phương trình có dạng. Phương trình này màn trình diễn biểu thức quan hệ giới tính giữ thân tọa độ x và tọa độ y của điểm trê tuyến phố cong C , cùng cũng màn trình diễn đường cong C. Phương trình này F ( x , y ) = 0 được gọi là phương trình của mặt đường cong C . Ví dụ, phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm (a, b), (c, d) là (d - b) (x - a) - (c - a) (y - b) = 0, và ( a , b). Phương trình chu vi của bán kính r có tâm) là (x - a ) 2 + ( y - b ) 2 - r 2 = 0. F (x, y) = 0 bao giờ là dạng của y = f (x ) tan mang lại y là trang bị thị của F (x, y) = con đường cong biểu diễn bởi 0 của hàm y = f (x). Đường cong cũng có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng tọa độ cực là G ( r , θ) = 0. Khi F ( x , y ) là 1 trong đa thức đối với x , y , thì đường cong biểu diễn bởi F ( x , y ) = 0 được gọi là một trong đại số đường cong, và khi bậc của nhiều thức là n , đây được hotline là đường cong bậc n. Đường cong con đường tính là 1 trong đường trực tiếp Đường cong bậc nhị Là một trong những phần hình nón (elip, hyperbol, parabol và hai tuyến đường thẳng giảm nhau). Một đường cong không hẳn là đường cong đại số được call là con đường cong khôn cùng việt. Ví dụ, những đường cong hàm nón và mặt đường cong sin xuất hiện thêm dưới dạng thiết bị thị của y = e x và y = sin x là các đường cong siêu nghiệm.
Đường cong ko gianMột con đường cong trong không gian được gọi là mặt đường cong ko gian. Lúc 1 điểm trong không khí được trình diễn bởi (x , y , z ) sử dụng hệ tọa độ Descartes, thì con đường cong không khí có f , g và h là 1 trong hàm được khẳng định trong một khoảng, như trong trường hợp con đường cong phẳng với x = f ( các tham số được hiển thị dưới dạng t), y = g ( t ), z = h ( t). Ví dụ, một biểu đồ dùng với một gradient t không đổi trên một mặt trụ bên đề nghị có bán kính a, đứng vuông góc với một khía cạnh phẳng nằm ngang. 3 Phương trình của đường kiếm như thế này được hiển thị dưới dạng tham số như x = a cos t , y = a sin t , z = bt ( b = a rã t) trường hợp lấy các trục tọa độ vào hình. Đường cong không gian cũng rất được biểu diễn bằng một hệ phương trình như F ( x , y , z ) = 0, G ( x , y , z ) = 0, có được bằng cách loại vứt tham số khỏi biểu diễn tham số của nó. Điều này tương ứng với một đường cong không khí nói bình thường là giao điểm của hai mặt phẳng cong. Đối với mặt đường cong không gian, những khái niệm như đường cong kín, độ dài và con đường cong đại số được có mang theo cách tương tự như so với đường cong phẳng.
Tiến hóa, bất khả xâm phạmĐối với 1 điểm p trên khía cạnh phẳng cong C , xét một mặt đường tròn đi qua p. Và nhị điểm Q, R trên C gần nó. Đường tròn giới hạn khi Q và R của đường tròn này được gửi lại gần phường dọc C được call là con đường tròn cong của C tại phường Khi đường cong để vẽ vai trung phong của mặt đường tròn cong cùng Γ tại mỗi điểm của C, với Γ được gọi là việc tiến hóa hoặc tiến hóa nhanh của C, bất khả xâm phạm hoặc bất khả xâm phạm của C Γ. C bất biến là một trong những đường cong được vẽ vị điểm cuối của chỉ khi sợi chỉ quấn quanh Γ được nới lỏng trong những khi được kéo căng (Hình.). Tư ).
những đường cong khía cạnh phẳng không giống nhau Tiếp theo, chúng tôi liệt kê những đường cong sản phẩm bay đặc biệt nổi giờ trong định kỳ sử.
Xem thêm: 6+ Cách Thử Vàng Bằng Lửa - 6+ Cách Thử Vàng Trắng Thật
(1) Đường cong lập phương được màn trình diễn bởi phương trình y 2 ( a - x ) = x 3 ( a là hằng số dương) được điện thoại tư vấn là đường nước rút hoặc đường cissoid (Hình.). Số năm ). Xét một đường tròn có 2 lần bán kính là đoạn trực tiếp nối cội tọa độ O và điểm A ( a , 0), và hotline R là giao điểm của đường thẳng OQ và mặt đường thẳng x = a so với điểm di động Q trên chu vi. Nếu đặt điểm phường trên đỉnh làm thế nào cho độ nhiều năm OP với QR bằng nhau thì phường vẽ mặt đường cong này. (2) Đường cong tứ phân biểu diễn bởi phương trình (x - a ) 2 ( x 2 + y 2 ) = b 2 x 2 ( a và b là các hằng số dương) được điện thoại tư vấn là đường đồng quy hoặc mặt đường xoắn ốc (Hình 6 ). Mang đến điểm Q di động trê tuyến phố thẳng x = a , nếu đem đoạn trực tiếp QP bao gồm độ lâu năm b về nhị phía của Q trên đoạn trực tiếp OQ thì phường vẽ con đường cong này. (3) Đường cong tứ phân được trình diễn bởi phương trình (x 2 + y 2 - ax ) 2 = b 2 ( x 2 + y 2 ) ( a và b là các hằng số dương) là mặt đường Limacon limaçon hoặc mặt đường cực ốc tai. (Nhân vật dụng 7 ). Khi mang điểm Q di động cầm tay trên chu vi có 2 lần bán kính là đoạn thẳng nối gốc O cùng A ( a , 0) và đoạn trực tiếp QP bao gồm độ dài b được đem về nhị phía của Q bên trên đoạn trực tiếp OQ thì phường là đường cong này. Vẽ tranh. Limason lúc a = b thường xuyên được điện thoại tư vấn là hình tim hoặc hình trái tim (hình vẽ). Số 8 ). Nói chung, con đường cong được vẽ bởi vì chân của con đường vuông góc vẽ từ một điểm cố định và thắt chặt O mang lại mỗi tiếp đường của mặt đường cong C không thay đổi được call là đường cong bàn đạp tương quan đến O của C. Khi xét một con đường tròn có nửa đường kính b gồm tâm ở A, Limason là một trong những đường cong bàn đạp so với điểm gốc O của đường tròn này (Hình.). 9 ). Ở bên trên (1), (2) với (3) là những đường cong được sử dụng để giải việc khối lập phương nhân đôi và bài bác toán phân loại góc. (4) Đường cong lập phương được màn biểu diễn bởi phương trình x 3 + y 3 = 3 axy ( a là hằng số dương) được call là đường lá Descartes của Descartes (Hình.). Mười ). Đoạn thẳng OQ với OR nhiều năm hơn, trong số đó R là giao điểm của mặt đường thẳng OQ và con đường thẳng x + y + a = 0 so với điểm di động Q trên elip x 2 - xy + y 2 - ax - ay = 0. Nếu đem điểm p ở trên làm sao để cho độ nhiều năm OP bởi hiệu giữa độ dài OQ cùng OR thì p vẽ đường cong này. (5) Phương trình (x 2 + y 2) 2 -2 a 2 (x 2 - y 2) = b 4 - a 4 (a, b là hằng số dương) đường cong bậc bốn biểu diễn đường cong Cassini Đường cong của Cassini (Hình 11 ). Đây là mặt đường cong được vẽ bởi điểm P thế nào cho tích của khoảng cách từ nhì điểm A ( a , 0) cùng B ( −a , 0) bởi b 2. Đường cong Cassini lúc b = a , nghĩa là mặt đường cong biểu diễn bởi ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 a 2 ( x 2 - y 2 ) hay được hotline là lemniscate hoặc renju. Đây là đường cong bàn đạp đối với gốc O của hyperbol góc vuông x 2 - y 2 = 2 a 2 (Hình.) 12 ). (6) khi một đường cong khác Γ lăn trên tuyến đường cong C không thay đổi mà không xẩy ra trượt, mặt đường cong được vẽ bởi vì điểm P cố định và thắt chặt với Γ được điện thoại tư vấn là cò cù roulette hoặc con đường cong xoay, C là con đường dưới thuộc và Γ là Γ. Đường cong lăn phường được điện thoại tư vấn là cực. Một cò quay có đường lòng thẳng và con đường cong chu vi được gọi là mặt đường xoáy lốc xoáy hoặc đường con lắc khi những cực nằm trên phố cong lăn, và ngược lại là trochoid trochoid (hình vẽ). 13 ， 14 ). Nếu bán kính của con đường tròn là con đường lăn là a và khoảng cách từ vai trung phong đến cực là b thì trochoid được bộc lộ là x = at - b sin t và y = a - b cos t cùng với góc con quay t là tham số. Sẽ được thực hiện. Ở đây, ví như a = b , công thức thể hiện một xycloid. Roulette khi cả mặt đường đáy và con đường cong lăn phần đa là mặt đường tròn và hai đường tròn này nằm ngoài (nội tiếp) được gọi là vòng tròn nước ngoài tiếp (vòng xoáy trong) hoặc khôn xiết vòng tròn ngoại vi (hypocycloid) khi cực nằm trên đường cong lăn. Trường hợp không, nó được hotline là trochoid bên ngoài (trochoid mặt trong) hoặc epitrochoid biểu mô (hyprochoid) (hình). 15 ， 16 ). Khi bán kính của đường tròn lòng là a , nửa đường kính của đường tròn là b , và khoảng cách giữa trọng điểm và cực của đường tròn là c thì góc xoay t của mặt đường cong lăn được sử dụng làm trung gian cùng trochoid bên phía ngoài và trochoid bên trong là x ＝ ( a ± b ) cos t ∓ c cos (( a ± b ) / b ) t , y ＝ ( a ± b ) sin t - c sin (( a ± b ) / b ) t ). Ở đây, giả dụ b = c , công thức biểu hiện xycloid bên phía ngoài và xicloit bên trong. Cycloid bên phía ngoài khi a = b là 1 cardioid (hình vẽ) 17 ).
