Tổng và hiệu của hai vectơ

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa tổng của hai vectơ với quy tắc tìm tổng

Cho nhì vectơ tuỳ ý
*
*
. Mang điểm A tuỳ ý, dựng
*
=
*
,
*
=
*
.

Bạn đang xem: Độ dài tổng 2 vecto

Khi đó

*
+
*
=
*
(h.1.7).

Với ba điểm M,N và p. Tuỳ ý ta luôn luôn có :

*
 +
*
 =
*
 (quy tắc cha điểm)


Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta bao gồm (h. 1.8) :

*
 +
*
=
*
 (quy tắc hình bình hành).

2. Định nghĩa vectơ đối

Vectơ
*
là vectơ đối của vectơ
*
nếu như |
*
| = |
*
| với
*
,
*
) là nhị vectơ ngược hướng. Kí hiệu
*
= –
*
.Nếu
*
là vectơ đối của
*
thì
*
là vectơ đối của
*
hay -(-
*
) = 
*
Mỗi vectơ đều phải có vectơ đối. Vectơ đối của
*
*
Vectơ đối của
*
*
.

3. Định nghĩa hiệu của nhị vectơ cùng quy tắc kiếm tìm hiệu

*
*
=
*
+ (-
*
) ;Ta có :
*
*
=
*
vói cha điểm O, A, B bất kể (quy tắc trừ).

4. Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ

*
,
*
,
*
bất kì ta có

*
+
*
=
*
+
*
. (tính chất giao hoán);(
*
+
*
) +
*
=
*
+ (
*
+
*
) (tính hóa học kết hợp);
*
+
*
=
*
+
*
=
*
(tính hóa học của vectơ – không);
*
+ (-
*
) = –
*
+
*
*

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Tìm tổng của hai vectơ với tổng của đa số vectơ

1. Phương pháp

Dùng đinh nghĩa tổng của nhì vectơ, quy tắc cha điểm, phép tắc hình bình hành với các đặc điểm của tổng các vectơ.

2. Những ví dụ

Ví dụ 1. đến hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N theo lần lượt là trung điểm của BC với AD.

a) search tổng của nhị vectơ

*
với
*
;
*
cùng
*
;
*
và 
*
,

b) chứng minh

*
+
*
=
*
+
*
.

Giải

a) Vì 

*
*
ta có

*
*
*
*

Vì 

*
*
, ta có 
*
*
*
*
*
*
*

*
=
*
, ta bao gồm
*
+
*
=
*
+
*
=
*
, với E là đỉnh của hình bình hành AMED.

b) bởi vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có

*
+
*
*

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành đề nghị

*
+
*
=
*

Vậy

*
+
*
=
*
+
*
.

Ví dụ 2. đến lục giác hầu hết ABCDEF trung tâm O.

Chứng minh

*
+
*
+
*
+
*
 +
*
+
*
=
*
.

GIẢI

Tâm O của lục giác hầu hết là vai trung phong đối xứng của lục giác (h.1.10).

Ta có

*
+
*
=
*
,
*
+
*
=
*
,

*
*
*

Do đó:

*
*
*
*
*
*

= (

*
*
) + (
*
*
) + (
*
*
) = 
*
.

Ví dụ 3. Mang lại

*
,
*
là những vectơ không giống
*
cùng
*
*
. Chứng minh các xác định sau :

a) nếu

*
cùng
*
cùng phương thì
*
+
*
thuộc phương cùng với
*
;

b) trường hợp

*
với
*
cùng hướng thì
*
+
*
thuộc hướng với 
*

GIẢI

Giả sử

*
=
*
*
=
*
,
*
+
*
=
*
.

a) nếu

*
*
thuộc phương thì bố điểm A, B, c cùng thuộc một đường thẳng. Hai vectơ
*
+
*
=
*
với
*
=
*
có cùng giá, vậy bọn chúng cùng phương.

b) ví như

*
cùng
*
cùng hướng, thì tía điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng cùng B, C nằm về ở một phía của Vậy
*
+
*
=
*
với
*
=
*
cùng hướng.

Ví dụ 4. Mang đến ngũ giác mọi ABCDE tâm O.

a) chứng tỏ rằng nhị vectơ 

*
*
và 
*
*
đề cùng phương với 
*
.

b) chứng tỏ hai vectơ 

*
và 
*
thuộc phương.

GIẢI

a) gọi d là đường thẳng cất OD thì d là một trong trục đối xứng của ngũ giác đều. Ta có 

*
*
*
, trong số ấy M là đỉnh của hình thoi OAMB cùng thuộc d. Cũng giống như vậy, 
*
*
*
, trong các số đó N trực thuộc d. Vậy 
*
*
và 
*
*
hầu như cùng với 
*
vị chúng gồm chung giá trị d.

b) 

*
và 
*
thuộc vuông góc với d cần AB // EC, suy ra 
*
thuộc phương 
*
.

Vấn đề 2

Tìm vectơ đối với hiệu nhì vectơ

1. Phương pháp

Theo định nghĩa, để tìm hiệu 
*
– 
*
, ta có tác dụng hai bước sau:

– tra cứu vectơ đối của 

*
;

– Tính tổng 

*
+ (-
*
).

Vận dụng quy tác 
*
– 
*
*
với cha điểm O, A, B bất kì.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh -(

*
*
) = –
*
+ (-
*
).

Giải

a) giả sử 

*
*
*
*
. Do đó 
*
*
*
*
*
*
.

b) trường hợp I là trung điểm của đoạn AB thì IA = IB và hai vectơ 

*
*
ngược hướng. Vậy 
*
= –
*
.

Ngược lại. Nếu 

*
= –
*
thì IA = IB cùng hai vectơ 
*
*
ngược hướng. Vì thế A, I, B trực tiếp hàng. Vậy I là trung điểm của đoạn AB.

Ví dụ 3. mang đến tam giác ABC. Các điểm M, N và p. Lần lượt là trung điểm của AB, AC với BC.

a) search hiệu 

*
*
*
*
*
*
*
*
.

b) Phân tích 

*
theo nhì vectơ 
*
*
.

Giải

(Xem hình h.1.12)

a) 

*
*
*
;

*
*
*
*
*

(vì 

*
=
*
);

*
*
*
+
*
*

(Vì –

*
*
);

*
*
*
+
*
*

(Vì –

*
*

b) 

*
=
*
*
*
.

Vấn đề 3.

Tính độ lâu năm của 

*
+
*
*
*

1. Phương pháp

Đầu tiên tính

*
+
*
=
*
,
*
*
=
*
. Tiếp đến tính độ dài các đoạn thẳng AB và CD bằng cách gắn nó vào những đa giác nhưng ta rất có thể tính được độ dài các cạnh của chính nó hoặc bằng các cách thức tính thẳng khác.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD tất cả

*
= 60° cùng cạnh là a. Gọi o là giao điểm hai tuyến phố chéo. Tính |
*
+
*
|, |
*
*
|, |
*
+
*

GIẢI

Vì tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a và 

*
= 60° yêu cầu AC = a
*
, BD = a (h.1.13).

Ta có: 

*
+
*
*
nên

|

*
*
| = AC = a
*
;

*
– 
*
*
phải |
*
– 
*
| = CA =
*
;

*
– 
*
*
– 
*
*
(vì 
*
*
).

Ví dụ 2. chứng minh các xác minh sau:

a) giả dụ

*
cùng
*
thuộc hướng thì |
*
+
*
| = |
*
| + |
*
|.

b) nếu

*
cùng
*
ngược hướng với |
*
| ≥ |
*
| thì |
*
+
*
| = |
*
| – |
*
|.

c) |

*
+
*
| ≤ |
*
| +|
*
|. Lúc nào xảy ra dấu đẳng thức ?

Giải

Giả sử 

*
*
*
*
thì 
*
*
*
.

a) Nếu 

*
và 
*
cùng hướng thì cha điểm A, B, C thuộc thuộc một mặt đường thẳng với B nằm giữa A cùng C. Vì vậy AB + BC = AC (h.1.14).

Vậy |

*
*
| = AC = BC – AB = |
*
| – |
*
|.

b) Nếu 

*
và 
*
ngược hướng cùng |
*
| ≥ |
*
| thì tía điểm A, B, C cùng một mặt đường thẳng cùng A nằm giữa B cùng C. Vì thế AC = BC – AB (h.1.15)

Vậy |

*
*
| = AC = BC – AB = |
*
– |
*
|.

c) trường đoản cú các minh chứng trên suy ra rằng nếu 

*
và 
*
cùng phường thì |
*
*
| = |
*
| + |
*
| hoặc |
*
*
|

Xét ngôi trường hợp 

*
và 
*
không cùng phương. Lúc ấy A, B, C không thẳng hàng.

Trong tam gác ABC ta bao gồm hệ thức AC

Vậy trong phần đa trường vừa lòng ta phần đa có |

*
*
| ≤ |
*
| + |
*
|

Đẳng thức xảy ra khi 

*
và 
*
thuộc hướng.

Ví dụ 3. Cho hình vuông vắn ABCD cạnh a bao gồm O là giao điểm của hai tuyến phố chéo.

Hãy tính |

*
– 
*
|, |
*
+
*
|, |
*
– 
*
|.

Xem thêm: Dàn Ý Chứng Minh Tính Đúng Đắn Của Câu Tục Ngữ Có Công Mài Sắt Có Ngày Nên Kim

Giải

Ta gồm AC = BD = a

*
.

|

*
– 
*
| = 
*
– 
*
-->