(h.1.7).Với ba điểm M,N và p. Tuỳ ý ta luôn luôn có :
+
=
(quy tắc cha điểm) Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta bao gồm (h. 1.8) :
+
=
(quy tắc hình bình hành).
2. Định nghĩa vectơ đối
Vectơ
là vectơ đối của vectơ
nếu như |
| = |
| với
,
) là nhị vectơ ngược hướng. Kí hiệu
= –
.Nếu
là vectơ đối của
thì
là vectơ đối của
hay -(-
) =
Mỗi vectơ đều phải có vectơ đối. Vectơ đối của
là
Vectơ đối của
là
.
3. Định nghĩa hiệu của nhị vectơ cùng quy tắc kiếm tìm hiệu
–
=
+ (-
) ;Ta có :
–
=
vói cha điểm O, A, B bất kể (quy tắc trừ).
4. Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ
,
,
bất kì ta có
+
=
+
. (tính chất giao hoán);(
+
) +
=
+ (
+
) (tính hóa học kết hợp);
+
=
+
=
(tính hóa học của vectơ – không);
+ (-
) = –
+
=
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Tìm tổng của hai vectơ với tổng của đa số vectơ
1. Phương pháp
Dùng đinh nghĩa tổng của nhì vectơ, quy tắc cha điểm, phép tắc hình bình hành với các đặc điểm của tổng các vectơ.
2. Những ví dụ
Ví dụ 1. đến hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N theo lần lượt là trung điểm của BC với AD.
a) search tổng của nhị vectơ
với
;
cùng
;
và
,
b) chứng minh
+
=
+
.
Giải
a) Vì
=
ta có
+
=
+
Vì
=
, ta có
+
=
+
=
+
=
Vì
=
, ta bao gồm
+
=
+
=
, với E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b) bởi vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có
+
=
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành đề nghị
+
=
Vậy
+
=
+
.
Ví dụ 2. đến lục giác hầu hết ABCDEF trung tâm O.
Chứng minh
+
+
+
+
+
=
.
GIẢI
Tâm O của lục giác hầu hết là vai trung phong đối xứng của lục giác (h.1.10).
Ta có
+
=
,
+
=
,
+
=
Do đó:
+
+
+
+
+
= (
+
) + (
+
) + (
+
) =
.
Ví dụ 3. Mang lại
,
là những vectơ không giống
cùng
≠
. Chứng minh các xác định sau :
a) nếu
cùng
cùng phương thì
+
thuộc phương cùng với
;
b) trường hợp
với
cùng hướng thì
+
thuộc hướng với
GIẢI
Giả sử
=
,
=
,
+
=
.
a) nếu
và
thuộc phương thì bố điểm A, B, c cùng thuộc một đường thẳng. Hai vectơ
+
=
với
=
có cùng giá, vậy bọn chúng cùng phương.
b) ví như
cùng
cùng hướng, thì tía điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng cùng B, C nằm về ở một phía của Vậy
+
=
với
=
cùng hướng.
Ví dụ 4. Mang đến ngũ giác mọi ABCDE tâm O.
a) chứng tỏ rằng nhị vectơ
+
và
+
đề cùng phương với
.
b) chứng tỏ hai vectơ
và
thuộc phương.
GIẢI
a) gọi d là đường thẳng cất OD thì d là một trong trục đối xứng của ngũ giác đều. Ta có
+
=
, trong số ấy M là đỉnh của hình thoi OAMB cùng thuộc d. Cũng giống như vậy,
+
=
, trong các số đó N trực thuộc d. Vậy
+
và
+
hầu như cùng với
vị chúng gồm chung giá trị d.
b)
và
thuộc vuông góc với d cần AB // EC, suy ra
thuộc phương
.
Vấn đề 2
Tìm vectơ đối với hiệu nhì vectơ
1. Phương pháp
Theo định nghĩa, để tìm hiệu
–
, ta có tác dụng hai bước sau:
– tra cứu vectơ đối của
;
– Tính tổng
+ (-
).Vận dụng quy tác
–
=
với cha điểm O, A, B bất kì.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh -(
+
) = –
+ (-
).
Giải
a) giả sử
=
,
=
. Do đó
+
=
+
=
=
.
b) trường hợp I là trung điểm của đoạn AB thì IA = IB và hai vectơ
,
ngược hướng. Vậy
= –
.
Ngược lại. Nếu
= –
thì IA = IB cùng hai vectơ
,
ngược hướng. Vì thế A, I, B trực tiếp hàng. Vậy I là trung điểm của đoạn AB.
Ví dụ 3. mang đến tam giác ABC. Các điểm M, N và p. Lần lượt là trung điểm của AB, AC với BC.
a) search hiệu
–
,
–
,
–
,
–
.
b) Phân tích
theo nhì vectơ
và
.
Giải
(Xem hình h.1.12)
a)
–
=
;
–
=
–
=
(vì
=
);
–
=
+
=
(Vì –
=
);
–
=
+
=
(Vì –
=
b)
=
=
–
.
Vấn đề 3.
Tính độ lâu năm của
+
,
–
1. Phương pháp
Đầu tiên tính
+
=
,
–
=
. Tiếp đến tính độ dài các đoạn thẳng AB và CD bằng cách gắn nó vào những đa giác nhưng ta rất có thể tính được độ dài các cạnh của chính nó hoặc bằng các cách thức tính thẳng khác.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD tất cả
= 60° cùng cạnh là a. Gọi o là giao điểm hai tuyến phố chéo. Tính |
+
|, |
–
|, |
+
.
GIẢI
Vì tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a và
= 60° yêu cầu AC = a
, BD = a (h.1.13).
Ta có:
+
=
nên
|
+
| = AC = a
;
–
=
phải |
–
| = CA =
;
–
=
–
=
(vì
=
).
Ví dụ 2. chứng minh các xác minh sau:
a) giả dụ
cùng
thuộc hướng thì |
+
| = |
| + |
|.
b) nếu
cùng
ngược hướng với |
| ≥ |
| thì |
+
| = |
| – |
|.
c) |
+
| ≤ |
| +|
|. Lúc nào xảy ra dấu đẳng thức ?
Giải
Giả sử
=
,
=
thì
+
=
.
a) Nếu
và
cùng hướng thì cha điểm A, B, C thuộc thuộc một mặt đường thẳng với B nằm giữa A cùng C. Vì vậy AB + BC = AC (h.1.14).
Vậy |
+
| = AC = BC – AB = |
| – |
|.
b) Nếu
và
ngược hướng cùng |
| ≥ |
| thì tía điểm A, B, C cùng một mặt đường thẳng cùng A nằm giữa B cùng C. Vì thế AC = BC – AB (h.1.15)
Vậy |
+
| = AC = BC – AB = |
– |
|.
c) trường đoản cú các minh chứng trên suy ra rằng nếu
và
cùng phường thì |
+
| = |
| + |
| hoặc |
+
|
Xét ngôi trường hợp
và
không cùng phương. Lúc ấy A, B, C không thẳng hàng.
Trong tam gác ABC ta bao gồm hệ thức AC
Vậy trong phần đa trường vừa lòng ta phần đa có |
+
| ≤ |
| + |
|
Đẳng thức xảy ra khi
và
thuộc hướng.
Ví dụ 3. Cho hình vuông vắn ABCD cạnh a bao gồm O là giao điểm của hai tuyến phố chéo.
