Định lý Simsơn được phát biểu như sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng.

Đã có một mở rộng khá thân quen thuộc của định lý này, đó là: các điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác qua 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó trải qua trực trọng điểm của tam giác.

Ký hiệu tam giác đó là ABC, M là 1 điểm trên đường tròn ngoại tiếp. Là các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác. H là trực tâm tam giác. Thế thì thẳng hàng và H thuộc đường thẳng .

 

Bạn đang xem: định lý simson


Bạn đang xem: Định lý simson

*

*

*

*

*



Xem thêm: Phân Tích Nhân Vật Việt Trong Những Đứa Con Trong Gia Đình, Top 5 Mẫu Phân Tích Nhân Vật Việt Hay Nhất

Một mở rộng của định lý SimsơnĐịnh lý Simsơn được phát biểu như sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng.Đã có một mở rộng khá quen thuộc của định lý này, đó là: các điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác qua 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó trải qua trực trung tâm của tam giác.Ký hiệu tam giác đó là ABC, M là 1 điểm bên trên đường tròn ngoại tiếp. Là các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác. H là trực trung tâm tam giác. Thế thì thẳng hàng và H thuộc đường thẳng .Có thể thấy rằng sự mở rộng trên bao gồm 2 phần: phần mở rộng trực tiếp, đó là sự thẳng hàng được suy ra ngay từ định lý Simsơn; còn phần thứ nhì hoàn toàn khác biệt, đó là đường thẳng đi qua 3 điểm đối xứng thì trải qua trực vai trung phong tam giác.Sự khác biệt đó khiến ta đặt câu hỏi là tại sao lại nghĩ ra điểm trực chổ chính giữa tam giác ở đó mà không phải là điểm khác? Trực chổ chính giữa có quan liêu hệ thế nào với điểm bên trên đường tròn ngoại tiếp và hơn nữa là đối với 3 điểm đối xứng thì có gì đặc biệt?Ta thấy rằng trong sự mở rộng đó đã nói đến các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh tam giác, vậy thì tại sao không xét đến các điểm đối xứng của H? Gọi 3 điểm đối xứng tương ứng là . Ta hãy xét đường nối 3 điểm ; trong phạm vi kiến thức của chúng ta thì hãy xét đến đường tròn và đường thẳng. Ta thấy rằng đường tròn chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và dĩ nhiên nó trải qua M.Như vậy thì đường tròn trải qua M và đường thẳng lại đi qua H.Nếu như ta gọi đường tròn đi qua 3 điểm đối xứng của 1 điểm qua 3 cạnh tam giác là đường tròn Simsơn và coi đường thẳng Simsơn là trường hợp suy biến của đường tròn Simsơn thì ta có thể nói rằng đường tròn Simsơn của điểm H đi qua điểm M và đường tròn Simsơn của điểm M đi qua điểm H.Ta hãy mở rộng kết quả bên trên theo hướng đối với 2 điểm bất kỳ, tức là đặt ra bài toán: mang lại tam giác ABC và 2 điểm M, N. Tìm điều kiện cần và đủ của M và N để đường tròn Simsơn của điểm M trải qua N và ngược lại.Bởi vì bài toán đặt ra với các vị trí bất kỳ của M, N bên trên mặt phẳng và vấn đề sẽ xét liên quan tới điểm thuộc đường tròn đề xuất ở đây ta sử dụng góc định hướng để giải quyết. Để solo giản xin được cầm dấu bằng dấu = và bỏ ký hiệu (mod ) sau các biến đổi.Gọi các điểm đối xứng của M, N lần lượt qua BC, CA, AB là và X, Y, Z là hình chiếu của M bên trên 3 cạnh đó tương ứng.Chú ý đến tính đối xứng trục của các đường thẳng qua AC và qua AB thì ta có:suy ra: (*)Biến đổi bên trên ta không sử dụng điều kiện gì vì vậy đẳng thức (*) thu được đúng với mọi cặp điểm M, N.Bây giờ giả sử rằng đường tròn Simsơn của điểm M qua điểm N tức là .Ta thấy rằng= (XY, XM) + (XM, XZ)= (AC, MC) + (MB, AB) (vì các tứ giác XMYC và XMZB nội tiếp)=(AC, AB) + (AB, MC) + (MB, AB)=(AC, AB) + (MB, MC)Vậy nếu thì Tương tự để mang lại thì cố kỉnh vào biểu thức (*) ở bên trên ta sẽ thu được điều kiện sau: (MB, MC) + (NB, NC) = 0Tức là (vì M và đối xứng qua BC)Điều đó có nghĩa là .Nhưng vày vai trò bình đẳng giữa các đường tròn do đó N cũng phải thuộc 2 đường tròn còn lại. Nhưng mà liệu các đường tròn đó có điểm bình thường (đồng quy) hay không? rộng nữa N còn nằm trên đường tròn (từ giả thiết của ta). Vì vậy nếu tồn tại điểm N thì đó là điểm tầm thường của cả 4 đường tròn này.Hãy gọi giao điểm của và là K. Ta có:= (ZY, ZX) + (BC, BM)= (ZY, ZM) + (ZM, ZX) + (BC, BM)= (AC, AM) + (BM, BC) + (BC, BM)= (AC, AM)Từ đó suy ra rằng . Tương tự thì .Như vậy thì 4 đường tròn đồng quy tại K.Trở lại với bài toán chính của chúng ta thì ta thấy điểm N K chính là điểm cần tìm.Chú ý rằng vai trò của điểm M và N là như nhau cho yêu cầu điều kiện trên cũng phải bình đẳng đối với 2 điểm, tức là M cũng là điểm tầm thường của các đường tròn .Vậy điều kiện cần sẽ là: M là điểm chung của 4 đường tròn của N và N là điểm phổ biến của 4 đường tròn của M (thực ra chỉ việc 1 trong 2 điểm là vấn đề chung của 4 mặt đường tròn của điểm kia). Điều kiện đủ được suy ra bằng cách biến đổi ngược lại, dựa vào 1 số kết quả trung gian (không phụ thuộc vào vị trí của M và N) thu được ở trên.Để ý là phát biểu trên nói rằng M (hay N) là điểm tầm thường của 4 đường tròn chứ không phải là điểm bình thường duy nhất, tức là có những trường hợp mà các đường tròn trùng nhau, khi đó sẽ có nhiều cặp điểm thỏa mãn yêu cầu đặt ra. Trong trường hợp ko suy biến thì đối với mỗi điểm M chỉ tồn tại duy nhất 1 điểm N thỏa mãn.Bây giờ ta hãy xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả thu được, đó chính là sự mở rộng được nói đến ban đầu của định lý Simsơn. Trong trường hợp này M là trực trọng tâm H của tam giác. Khi đó các đường tròn trùng với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì chưng đó với điểm N bất kỳ trên (ABC) thì đường thẳng (do đường tròn suy biến thành) sẽ luôn luôn đi qua điểm M là trực chổ chính giữa tam giác.Ta thấy rằng ở bên trên đã xét đến các điểm đối xứng của M, N qua các cạnh của tam giác ABC và các biến đổi của chúng ta đều liên hệ đến đối xứng trục. Một cách tương tự ta sẽ nghĩ đến đối xứng tâm. Và sự “tương tự” khiến ta nghĩ đến việc chọn trung ương đối xứng là các trung điểm D, E, F của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.Gọi các điểm đối xứng của M, N qua D, E, F lần lượt là , và .Ta hãy xét bài toán giống như trên, tức là tìm điều kiện để nếu thì .Một cách tương tự ta sẽ dùng biến đổi góc định hướng, với chú ý là vì đối xứng tâm bắt buộc , bởi đó biểu thức của chúng ra sẽ rất gọn như sau .Lại chú ý thêm rằng các đoạn thẳng tuy nhiên song và bằng nhau; cũng tương tự đối với các đoạn thẳng ; vì thế .Từ đó suy ra nếu tức là thì cũng có hay M cũng thuộc .Kết luận ta thu được rộng rộng so với bài toán trước rất nhiều, đó là đối với mỗi điểm M thì tập hợp các điểm N thỏa mãn điều kiện bài toán là toàn bộ đường tròn .Như đã nói ở trên, vì chưng vai trò bình đẳng giữa 2 điểm M, N do đó từ kết luận này ta có thể suy ra 1 bài toán hệ quả như sau: chứng minh rằng các đường tròn đi qua 1 điểm cố định khi N di chuyển bên trên đường tròn (điểm M).Ta thấy kết luận đối kháng giản rộng bài toán trước nhiều, do đó ta sẽ cố tìm đến nó 1 chứng minh khác cũng solo giản như kết luận của nó vậy. Hãy chú ý đến các trung điểm, nếu ta vị tự trọng tâm M tỉ số ½ thì đường tròn sẽ trở thành đường tròn (DEF) tức đường tròn Ơle của tam giác ABC. Bởi vì đó nếu thì trung điểm của MN sẽ thuộc đường tròn Ơle của tam giác ABC. Kết quả này bình đẳng với M và N cho nên vì vậy cũng có thể kết luận được M cũng thuộc .Ta cũng thử xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả này, khi cho M trùng với H, khi đó đường tròn trùng với đường tròn (ABC). Cuối cùng thu được với N bất kỳ trên (ABC).Ở bài toán ban đầu đặt ra, kết quả thu được nhờ vào sự đồng quy của 4 đường tròn. Vậy ở bài toán này điều đó có xảy ra không?Gọi K’ là giao điểm của và . Khi đó:= (BC, AC) + (MC, BC) (do các đoạn thẳng song song)= (MC, AC)Điều đó có nghĩa là . Tương tự .Vậy 4 đường tròn này cũng đồng quy như trên.Đến trên đây hãy để ý là các điểm cùng nằm trên 1 đường tròn (cũng tương tự mang đến 2 bộ 4 điểm còn lại). Vì vậy trong 4 đường tròn này thì chỉ có thêm một đường tròn là mới. Kết hợp với kết quả của bài toán trước thì ta có tất cả 5 đường tròn đồng quy: .Bây giờ nhìn lại 1 cách tổng quát, ta thấy từ M có hạ các đường vuông góc, rồi lại có các trung điểm, điều đó khiến ta nghĩ đến đường tròn Ơle. Nếu dùng phép vị tự trọng tâm M tỉ số ½ thế thì các đường tròn sẽ trở thành các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB; còn đường tròn trở thành đường tròn Ơle của tam giác ABC. Từ kết luận về tính đồng quy của các đường tròn suy ra là các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC đồng quy.Do vị trí của M bất kỳ buộc phải ta phát biểu kết quả bên trên theo 1 cách đối xứng đẹp đẽ hơn: mang đến tứ giác ABCD. Lúc đó các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy.Nếu gọi G là trọng trung tâm tứ giác thì qua phép đối xứng trọng điểm G thì đường tròn Ơle của tam giác BCD trở thành đường tròn đi qua trung điểm của AB, AC, AD. Tương tự đối với 3 tam giác còn lại thì từ bên trên sẽ có: các đường tròn đi qua trung điểm các đoạn nối từ 1 đỉnh của tứ giác đến 3 đỉnh còn lại đồng quy.Lại áp dụng ngược kết quả này vào bài toán ban đầu đối với điểm M thay cho điểm D. Dùng phép vị tự ngược lại trọng điểm M tỉ số 2 thì sẽ suy ra các đường tròn đồng quy.Sự tương tự khiến ta nghĩ đến sự đồng quy của các đường tròn . Điều này có thể chứng minh như sau:Gọi T là giao điểm của (ABC) và . Khi đó:= (YZ, AC) + (MA, AC) + (CA, CB)= (MZ, MA) + (MA, BC)= (MZ, BC)= (MZ, ZX) + (ZX, BC)suy ra . Tương tự .Lại chú ý thêm rằng tam giác qua phép vị tự trọng tâm M trở thành tam giác hình chiều của M đối với tam giác ABC. Và đường tròn ngoại tiếp tam giác hình chiếu này cũng trải qua điểm đồng quy của 4 đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC. Vì vai trò của các điểm M, A, B, C bình đẳng đề xuất nếu đổi vai trò của điểm M mang lại bất cứ điểm nào trong 3 điểm A, B, C ta cũng có kết quả như vậy. Vị đó, ta phát biểu lại như sau cho cân đối:Cho tứ giác ABCD. Gọi các đường tròn ngoại tiếp các tam giác hình chiếu của 1 điểm đối với tam giác tạo bởi 3 điểm còn lại lần lượt là . Gọi các đường tròn Ơle của các tam giác tạo bởi 3 điểm lần lượt là . Lúc đó các đường tròn đồng quy.Kết quả bên trên có 1 trường hợp đặc biệt. Đó là lúc tứ giác ABCD nội tiếp thì các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy tại 1 điểm E, điểm này được gọi là điểm Ơle của tứ giác ABCD. Với kết quả mở rộng này chúng ta có thể gọi điểm đồng quy là điểm Ơle đối với tứ giác bất kỳ, ko nhất thiết phải nội tiếp.Cuối cùng xin nêu một nhận xét: sự đồng quy của 8 đường tròn nói trên thu được là nhờ phép vị tự trung khu M tỉ số ½, và vày N là điểm đồng quy của 4 trong số 8 đườ ... ờng kính. điện thoại tư vấn là giao điểm 2 tiếp con đường của tại và . Đường tròn cắt tại .CMR: Giao điểm của đường phân giác và con đường thẳng không phụ thuộc vào bí quyết chọn .6) cân nặng tại . Là trọng tâm nội tiếp tam giác.là điểm nằm trên đường tròn nước ngoài tiếp tam giác và phía trong tam giác . Đường thằng qua tuy nhiên song với cùng lần lượt cắt tại và .Đường thằng qua song song cùng với lần lượt cắt và tại cùng .CMR: giao điểm của và nằm trên tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác .7) Quadrilateral is inscribed in a circle with center . Point is given inside . Let be the circumcenters of triangles , respectively. Prove, that midpoints of segments are collinear.8) mang đến tam giác với trọng tâm . Lấy thế nào cho đồng quy tại một điểm . điện thoại tư vấn lần lượt là trung điểm và theo vật dụng tự là trung điểm .1. Minh chứng rằng đồng quy trên một điểm nhưng mà thẳng hàng.2. Chứng thực vị trí hình học của khi(i) là chân ba đường cao của (ii) là chân cha đường phân giác trong của 9) 10) bốn đường tròn sắp đặt trong mặt phẳng thế nào cho . Chứng tỏ rằng những điểm A",B",C",D" đồng viên (hoặc trực tiếp hàng) khi và chỉ khi các điểm đồng viên (hoặc trực tiếp hàng)11) mang lại tam giac ABC nội tiếp (O).Gọi (E) là đường tròn Euler tam giác ABC.MM" là đường kính của (O).Các mặt đường đối rất của M,M; cùng với (E) cắt nhau sống S.Chứng tỏ S nằm trên đường thẳng vuông góc với OH(H là trực trọng điểm ABC).12)cho tam giác ABC có . Đường tròn nội tiếp tam giác bao gồm tâm với tiếp xúc với những cạnh thứu tự tại với .Các đường thẳng lần lượt giảm đường trực tiếp tại với . CMR: 13) Tam giác ABC nội tiếp mặt đường tròn (O), D là một trong điểm bất cứ trên BC của tam giác. Các đường tròn cùng tiếp xúc cùng với (O), cùng tiếp xúc cùng với đoạn DA và thoe lắp thêm tự tiếp xúc với các đoạn DB, DC. Chứng minh đi qua trung khu đường tròn nội tiếp tam giác ABC14) Trong phương diện phẳng P cho 1 tam giác số đông ABC. Gọi A",B",C" theo sản phẩm công nghệ tự là những hình chiếu trên những đường trực tiếp BC,CA,AB của 1 điểm M bất kì trên khía cạnh phẳng và G là trung tâm của . Minh chứng rằng ánh xạ từ 1 phép trở thành hình của phương diện phẳng15) mang đến nội tiếp trong đường tròn . Với mỗi , ký hiệu để dẫn đường thẳng Simpson của điểm đối với tam giác . Xét đường kính biến hóa của . Kiếm tìm quỹ tích giao điểm của và 16) đến tam giác ABC. Các đường cao AH, BK. Những đường phân giác AE, BF. Gọi O, I theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiêp ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng tỏ rằng H,I,K thẳng sản phẩm khi còn chỉ khi E,O,F thẳng hàng.PHEP NGHICH DAO(17,18,19)17) đến , , nội tiếp . Thuộc tia đối tia . 1 con đường tròn xúc tiếp , tiếp xúc xung quanh và tiếp xúc trên . CMR: 18) mang đến đường tròn trọng điểm . Dựng hai tuyến phố tròn tiếp xúc không tính nhau tại cùng tiếp xúc vào . Tiếp tiếp chung ngoài của và cắt ở cùng . Tiếp tuyến tầm thường trong của chúng cắt tại ; và cùng phía đối với . Chứng tỏ là trung khu nội tiếp 19)Cho với tiếp xúc vào với nhau tại trên đường tròn ta đem một điểm ngẫu nhiên và kẻ trường đoản cú tới những tiếp tuyến.Gọi là giao điểm của những tiếp đường vớiTìm quỹ tích tâm nội tiếp tam giác 20) Cho hai tuyến phố tròn không đều nhau và tiếp xúc nhau tại .Các điểm tương xứng chạy trên thế nào cho .Đường tròn nằm trong tam giác ,tiếp xúc ngoại trừ với 2 con đường tròn và tiếp xúc với trên . CMR: chạy xe trên 1 mặt đường tròn cố gắng định.21) mang lại điểm ở trong tứ giác lồi. điện thoại tư vấn theo sản phẩm tự là hình chiếu của trên những đường trực tiếp . Xác định các tứ giác sao để cho theo thú từ là hình chiếu của trên các đường thẳng với .1. Chứng tỏ rằng những tứ giác đồng dạng.2. Vào tứ giác đầu tiên, mọi tứ giác như thế nào dồngdangj cùng với tứ giác (Chú ý. ~ tất cả một phép đồng dạng phát triển thành tứ giác này thành tứ giác kia.)22) Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với trên theo lắp thêm tự đó. Gọi tương xứng là trung điểm của các cạnh và theo máy tự đối xứng cùng với qua đường phân giác (trong) của những góc . Chứng minh rằng các đường trực tiếp đồng quy tại một điểm trê tuyến phố tròn .23) mang đến tam giác nội tiếp mặt đường tròn . Gọi là trung tâm đường tròn Ơ-le, đem điểm thỏa mãn . Giả sử rằng trung trực giảm tại , các điểm được xác định tương tự. Minh chứng rằng cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với .24) mang đến tam giác phần đa nội tiếp trong đường tròn . Một mặt đường kính thay đổi của cắt các đường thẳng trên theo trang bị tự đó. Cmr con đường thẳng Ơle của các tam giác số lượng giới hạn nên một tam giác đều.25) cho đường tròn . Chứng tỏ rằng tứ giác là điều hòa khi và chỉ còn khi trường thọ bốn hình tròn trụ thỏa mãn:1) tiếp xúc 2) tiếp xúc tại 3) xúc tiếp với 26) Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với tại . Là điểm bất kỳ trong khía cạnh phẳng của tam giác. Call là hình chiếu của theo đồ vật tự trên các đường thẳng . Chứng tỏ rằng mặt đường tròn trải qua trọng tâm những tam giác có 2 lần bán kính bằng 27)Cho điểm M ở ngoài đường tròn (O). Kẻ cha đường thẳng thế nào cho nằm giữa và (A nằm giữa M28) Hãy phủ định hoặc xác định mệnh đề " giả dụ ABCDEF là lục giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau thì AD, BE, CF đồng quy29) đến tứ giác nội tiếp đường tròn cùng là điểm bất kỳ trong phương diện phẳng. Hotline theo sản phẩm công nghệ tự là tâm các đường tròn .CMR trung điểm của trực tiếp hàng30) mang đến tam giác và các đừong tròn làm sao để cho tiếp xúc với ;tiếp xúc với với tiếp xúc với ;tiếp xúc với và tiếp xúc với ;tiếp xúc với với tiếp xúc cùng với .Chứng minh rằng 31) Trong khía cạnh phẳng cho hai tam giác . Lấy các điểm làm thế nào để cho . điện thoại tư vấn . Chứng minh rằng đồng quy.32) đến tứ giác lồi . đem đối xứng với qua mặt đường thẳng , đối xứng với qua đường thẳng với đối xứng với qua đường thẳng . Biết rằng . Cmr tứ giác nội tiếp.33) mang lại tam giác nhọn, trực trọng tâm ngoại tiếp mặt đường tròn gồm . điện thoại tư vấn theo sản phẩm công nghệ tự là trung điểm , . Gọi là tâm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác . Cmr thẳng hàng 34) Trong mặt phẳng, qua điểm O đến trước, kẻ 2005 con đường thẳng phân biệt bất kỳ . Bên trên mỗi đường thẳng đem một điểm không giống O. Chứng minh rằng rất có thể chọn các điểm làm thế nào cho 35) 1/Xác định mặt đường thẳng chia đôi chu vi và diện tích tứ giác?_________________________________PDatK40SP: chúng ta nối 2 cạnh đối lấy ví dụ như và giảm nhau trên đỉnh ví dụ điển hình thì hotline cát tuyến giảm tại thì và hoàn toàn xác định các bạn ạ. 2/Xác định tứ giác có cả đường tròn nước ngoài tiếp và nội tiếp ?36) ví như là những điểm ở trong cạnh của làm thế nào để cho thì ___________PDatK40SP: chúng ta có thể lấy phân giác kẻ tự đỉnh của và từ những việc và thông thường nhau mặt đường phân giác đó; bạn dùng cách làm tính khoảng cách đường phân giác để có phương trình bạn ạ.37) cho và là trọng điểm đường tròn nước ngoài tiếp và trọng điểm đường tròn nội tiếp của không đều. Tiếp xúc trên .và cắt nhau trên , và giảm nhau trên .là trung điểm đoạn .CMR: .38) Cho hotline là tâm hình vuông vắn nội tiếp tam giác bao gồm 2 đỉnh trên ,một đỉnh bên trên ,một đỉnh bên trên .xác định tương tự.Chứng minh: đồng quy39) đến nội tiếp với điểm phía trong tam giác. Những tia lần lượt giảm tại . Tìm kiếm tập hợp điểm để có:+ diện tích cho trước.+ Chu vi mang lại trước.Hệ quả: Tìm các điểm để và những điểm để 40) cho tam giác ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp Rlaf nửa đường kính ngoại CMR : >2r41) cho tam giác a) chứng tỏ rằng những đường trung tuyến phân tách tam giác ra thành sáu tam giác con có những tâm mặt đường tròn nước ngoài tiếp của bọn chúng nằm trên một đường tròn.b) Hãy tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng tam giác làm thế nào cho các con đường và chia tam giác ra thành sáu tam giác con, sao để cho tâm những đường tròn nước ngoài tiếp của chúng nằm bên trên một con đường tròn.42) cho tam giác bao gồm . Hotline là trung điểm . đưa sử . Tính độ lớn những góc của tam giác 43) điểm JEBAREK..Cho tam giác .Gọi là trực trung khu và tâm ngoại tiếp ABC.Gọi là chân mặt đường cao hạ từ bỏ A,B,C xuống bố cạnh tương ứng. 1) những đường thẳng Euler của đồng qui trên điểm gọi là điểm Jebarek cua tam giác ABC.(Jebarek point)Tìm tọa độ rất của J đối với . 2) nằm tại (Đường tròn Euler ) của . 3)Các đường tròn Euler của những tam giác đồng qui nghỉ ngơi J.Nói biện pháp khác 4 con đường tròn bao gồm điểm chung. 4)Gọi là trong tim ABC.Ba mặt đường tròn có điểm chung. 5)Với là trung điẻm .Hai mặt đường thảng SimSon của J đối với tam giác và song song.44)tiep xucCho tam giác nội tiếp . Đường tròn (") xúc tiếp trong với tại , xúc tiếp với ngơi nghỉ .Nhận xét 1: đến tam giác . Là mặt đường tròn bàng tiếp góc . Quanh đó đoạn lấy làm thế nào cho , . CMR: tứ giác và nội tiếp.Chứng minh: gọi S,P,Q là các tiếp điểm của với BC,CA,AB. Bởi và là phân giác góc , từ đó là phân giác góc và theo tính chất đối xứng thì suy ra với suy ra:Suy ra nội tiếp. Tương tự như nội tiếp.Nghịch đảo ngược lại với vai trung phong phương tích bất cứ ta có việc quen thuộc:Hệ quả 1:Cho tam giác nội tiếp . Đường tròn xúc tiếp trong với trên . Tiếp xúc với làm việc .Khi đó vai trung phong nội tiếp tam giác (điểm ) vị trí .Gọi là phân giác ko kể với nằm trong ta tất cả vuông góc cùng với suy ra : cơ mà suy ra đồng viên do đó:Hệ quả 2:Phân giác của đi qua Trước phía trên hệ trái 2 thường được sử dụng để chứng minh hệ quả 1 và cần dùng đến phương pháp trùng ko đẹp và gọn. Chứng minh trên cụ thể tự nhiên và dễ hiểu hơn nhiều.Gọi là trung điểm cung không đựng Áp dụng 2 hệ trái trên cho cắt ở . Giảm ở , ta bao gồm tam giác đồng dạng cùng với tam giác suy ra suy ra nhưng mà dẫn cho vuông góc cùng với suy ra thuộc con đường tròn nhưng cũng ở trong từ đó trùng với (do tam giác ABC không cân).Hệ quả 3:cắt ở , lúc ấy . Điều này dẫn đến việc sau:Hệ quả 4:Cho tam giác nội tiếp . Đường tròn tiếp xúc trong với tại . Tiếp xúc với . Tương tự có . Đường tròn nội tiếp xúc tiếp với nghỉ ngơi .CMR: .Hoàn toàn giống như ta có hệ trái sau:Hệ trái 5: mang đến tam giác nội tiếp . Là đường tròn bàng tiếp góc . Cắt ở (khác ). Tiếp xúc với nghỉ ngơi . CMR: khi và chỉ khi .Chọn điểm S là chổ chính giữa nghịch đảo ta đang thu được hình vẽ sau:, giảm nhau tại A và S . PQ là tiếp tuyến thông thường ngoài, mặt đường thẳng qua A tuy nhiên song với P,Q giảm ở B, sinh sống C. T là điểm đối xứng cùng với A qua trung điểm L của PQ.Trước hết thường thấy ===Mặt khác, từ đó suy ra rằng tam giác PBT đồng dạng với QTC.Từ kia ((STP),(STB))=((STQ),(STC)).Hệ quả 6:Cho AS cắt PQ làm việc T. CMR: từ hệ quả 6 ta thu được :Hệ trái 7:SI cắt BC sống W. CMR: TW là phân giác bệnh minh:==suy ra: .=(*)Ta lại có:..=1(**)Từ (*) cùng (**) suy ra: == suy ra (K,W,B,C)=-1 suy ra TW là phân giác .1) TWTK với TW//AI2) AW,BQ