Công thức tỷ số thể tích, định lý simson khá đầy đủ các nghệ thuật giải nhanh

Chú yêu thích $V_1=$Thể tích cũ, $V_2=$Thể tích mới (dùng đến kỹ thuật chuyển đỉnh cùng đáy).

Bạn đang xem: Định lí simson

Kỹ thuật thay đổi đỉnh (đáy không đổi)

Song tuy nhiên với đáy

$V_1=V_2=frac13Bh.$

Cắt đáy

$fracV_1V_2=fracfrac13.dleft( A;left( p ight) ight).S_frac13.dleft( B;left( phường ight) ight).S_=fracdleft( A;left( phường ight) ight)dleft( B;left( phường ight) ight)=fracIBIA.$

 Kỹ thuật gửi đáy (đường cao không đổi)

$$;với $S_1$ là diện tích s đáy cũ; $S_2$ là diện tích đáy mới

Chú ý:

Đưa nhị khối đa diện về cùng một đỉnh; nhì đáy bắt đầu và cũ bên trong cùng một phương diện phẳng (thường thì đáy cũ cất đáy mới). Áp dụng cách làm tính diện tích của nhiều giác để đối chiếu tỉ số giữa lòng cũ cùng đáy mới.Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của nhiều giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác đã tăng (hoặc giảm) $k^2$ lần.Tỉ số đa giác hay gặp là tỉ số diện tích s của hai tam giác.

$fracS_Delta AMNS_Delta ABC=fracfrac12.AM.AN.sin Afrac12.AB.AC.sin A=fracAMAB.fracANAC.$

Tỉ số thể tích của khối chóp

Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác 

Công thức: $$

Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong tương đối nhiều trường hòa hợp ta bắt buộc chia bé dại các khối đa diện thành các hình chóp tam giác không giống nhau rồi new áp dụng.

 Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác

Trường hợp sệt biệt: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ (hoặc nhiều giác bất kỳ), khía cạnh phẳng $left( p. ight)$ tuy nhiên song cùng với đáy giảm các cạnh bên $SA,SB,SC,SD$lần lượt trên $A",B",C",D"$.

Khi đó $$; với $fracSA"SA.fracSB"SB.fracSC"SC=fracSD"SD=k$.

Chú ý: Công thức bên trên đúng với đáy n giác

 Trường hợp lòng là hình bình hành (hay gặp)

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$có lòng $ABCD$ là hình bình hành. Phương diện phẳng $left( p. ight)$ cắt những cạnh $SA,SB,SC,SD$lần lượt tại $A",B",C",D"$sao cho $fracSA"SA=x;fracSB"SB=y;fracSC"SC=z;fracSD"SD=t.$

Khi kia $$ cùng $$

Tỉ số thể tích của khối lăng trụ

Lăng trụ tam giác

þ Kết trái 1:

Gọi V là thể tích khối lăng trụ, $V_1$ là thể tích khối chóp tạo thành trường đoản cú 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, $V_2$ là thể tích khối chóp chế tạo thành trường đoản cú 5 vào 6 đỉnh của lăng trụ. Lúc đó: $$

Bài tập: Hình lăng trụ $ABC.A"B"C"xrightarrowV_A"B"BC=frac13V_ABC.A"B"C";V_A"B"ABC=frac23V_ABC.A"B"C"$

 

þ Kết trái 2:

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A"B"C"$. Khía cạnh phẳng $left( alpha ight)$cắt những đường thẳng $AA",BB",CC"$lần lượt tại $M,N,P$ (tham khảo hình mẫu vẽ bên). Tính tỉ số $fracV_ABC.MNPV_ABC.A"B"C"$.

HD: Ta có $V_ABC.MNP=V_M.ABC+V_A.BNPC$


Lại gồm $V_M.ABC=frac13.dleft( M;left( ABC ight) ight).S_Delta ABC=frac13.fracAMAA".dleft( A";left( ABC ight) ight).S_Delta ABC$

$=frac13.fracAMAA".V_ABC.A"B"C"xrightarrow<>V_M.ABC=frac13.fracAMAA".V_ABC.A"B"C"$

Và $S_BNPC=frach2.left( BN+CP ight);$$S_BCC"B"=frach2.left( BB"+CC" ight)=h.BB"$

$Rightarrow fracS_BNPCS_BCC"B"=fracfrach2.left( BN+CP ight)h.BB"=frac12left( fracBN+CPBB" ight)=frac12left( fracBNBB"+fracCPCC" ight).$

Suy ra $V_A.BNPC=frac13.dleft( A;left( BCC"B" ight) ight).S_BNPC$

$=frac13.dleft( A;left( BCC"B" ight) ight).frac12left( fracBNBB"+fracCPCC" ight).S_BCC"B"=frac12left( fracBNBB"+fracCPCC" ight).V_A.BCC"B"$

Mà $V_A.BCC"B"=frac23V_ABC.A"B"C"Rightarrow V_A.BNPC=frac13.left( fracBNBB"+fracCPCC" ight).V_ABC.A"B"C"$

Vậy $V_ABC.MNP=frac13.fracAMAA".V_ABC.A"B"C"+frac13.left( fracBNBB"+fracCPCC" ight).V_ABC.A"B"C"Rightarrow fracV_ABC.MNPV_ABC.A"B"C"=frac13left( fracAMAA"+fracBNBB"+fracCPCC" ight)$

Công thức tính nhanh $$ 

Khối hộp

þ Kết quả 1:

Gọi V là thể tích khối hộp, $V_1$ là thể tích khối chóp sinh sản thành từ bỏ 4 vào 8 đỉnh của khối hộp bao gồm hai đường chéo của nhì mặt song song, $V_2$ là thể tích khối chóp chế tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối vỏ hộp ở những trường thích hợp còn lại. Khi đó: $$

Bài tập: Hình vỏ hộp $ABCD.A"B"C"D"xrightarrowV_A"C"BD=frac13V_ABCD.A"B"C"D";V_A"C"D"D=frac16V_ABCD.A"B"C"D"$

 þ Kết trái 2:

Cho hình lăng trụ tam giác $ABCD.A"B"C"D"$. Khía cạnh phẳng $left( alpha ight)$cắt những đường thẳng $AA",BB",CC",DD"$lần lượt tại $M,N,P,Q$ (tham khảo mẫu vẽ bên).

Xem thêm: Bài 1: Sự Xuất Hiện Loài Người Và Bầy Người Nguyên Thủy, Lịch Sử 10

Chứng minh rằng $fracAMAA"+fracCPCC"=fracBNBB"+fracDQDD"$

và $fracV_ABCD.MNPQV_ABCD.A"B"C"D"=frac12left( fracAMAA"+fracCPCC" ight)=frac12left( fracBNBB"+fracDQDD" ight)$

Chứng minh $fracAMAA"+fracCPCC"=fracBNBB"+fracDQDD"$

Gọi I là tâm hình vuông ABCD; $I"$ là tâm hình vuông $A"B"C"D"$.

Ta có: $fracAMAA"+fracCPCC"=fracAM+PCAA"=frac2OIAA";$

$fracBNBB"+fracDQDD"=fracBN+DQBB"=frac2OI"BB"Rightarrow fracAMAA"+fracCPCC"=fracBNBB"+fracDQDD".$

Chứng minh $fracV_ABCD.MNPQV_ABCD.A"B"C"D"=frac12left( fracAMAA"+fracCPCC" ight)=frac12left( fracBNBB"+fracDQDD" ight)$

Chia khối đa diện $ABCD.MNPQ$thành nhì khối nhiều diện $ABC.MNP$ cùng $ACD.MPQ$;

Làm tương tự như với thể tích khối lăng trụ tam giác;

Cộng thể tích hai khối nhiều diện $Rightarrow fracV_ABC.MNPV_ABC.A"B"C"=frac14left( fracAMAA"+fracCPCC"+fracBNBB"+fracDQDD" ight)$

Mà $fracAMAA"+fracCPCC"=fracBNBB"+fracDQDD"Rightarrow fracV_ABCD.MNPQV_ABCD.A"B"C"D"=frac12left( fracAMAA"+fracCPCC" ight)=frac12left( fracBNBB"+fracDQDD" ight)$