​​​​​​Cho hàm số y = f(x) khẳng định trên khoảng (a; b) cùng x0 Î (a; b):

$f"(x_0)=undersetx o x_0mathoplim ,fracf(x)-f(x_0)x-x_0$=$undersetDelta x o 0mathoplim ,fracDelta yDelta x$ (Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0))

nếu như hàm số y = f(x) tất cả đạo hàm trên x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Bạn đang xem: Điều kiện để hàm số có đạo hàm tại 1 điểm

Bạn vẫn xem: điều kiện để hàm số gồm đạo hàm tại 1 điểm

2. Đạo hàm mặt trái, bên phải

. .

Hệ quả : Hàm gồm đạo hàm tại cùng bên cạnh đó .

3. Đạo hàm trên khoảng, bên trên đoạn

$ullet $ Hàm số gồm đạo hàm (hay hàm khả vi) bên trên giả dụ nó tất cả đạo hàm tại phần đông điểm nằm trong $ullet $ Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) bên trên \!! ext > ví như nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc đôi khi tồn trên đạo hàm trái với đạo hàm cần .

4. Mối tương tác giữa đạo hàm với tính liên tục

$ullet $ Nếu hàm số bao gồm đạo hàm trên thì tiếp tục tại .

Chú ý: Định lí bên trên chỉ là đk cần, có nghĩa là một hàm hoàn toàn có thể liên tục trên điểm tuy vậy hàm đó không có đạo hàm tại .

B. Bài tập

I. Bài bác tập minh họa

Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để làm định nghĩa đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại. B.

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Theo khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.

Chọn C.

Câu 2. Cho hàm số $fleft( x ight)$ liên tiếp tại . Đạo hàm của $fleft( x ight)$ trên là

A. $fleft( x_0 ight)$.

B. .

C. (nếu tồn tại giới hạn).

D. (nếu sống thọ giới hạn).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Định nghĩa tuyệt (nếu mãi sau giới hạn).

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$có đạo hàm trên $x_0$ là . Xác minh nào dưới đây sai?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).

B. Đúng vày

 

C. Đúng vị

Đặt

Câu 4. Số gia của hàm số ứng với và bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta gồm $Delta y=fleft( x_0+Delta x ight)-fleft( x_0 ight)=left( x_0+Delta x ight)^3-2^3=x_0^3+left( Delta x ight)^3+3x_0Delta xleft( x_0+Delta x ight)-8$.

Với và $Delta x=1$ thì $Delta y=19$.

Câu 5. Tỉ số của hàm số heo x và là

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

II. Bài tập tự luyện

Câu 1. Số gia của hàm số ứng cùng với số gia của đối số x trên là

A. B. .> C. .> D.

 

Câu 2. Cho hàm số , đạo hàm của hàm số ứng cùng với số gia của đối số x tại x0 là

A. B.

C. D.

Câu 3. Cho hàm số 

*

 

Xét nhì mệnh đề sau:

(I) .

(II) Hàm số không tồn tại đạo hàm tại .

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai phần đa sai. D. Cả hai gần như đúng.

Câu 4. Tính đạo hàm 

*

 

tại điểm $x_0=1$.

A. $frac13$ B. $frac15$ C. $frac12$ D. $frac14$

Câu 5. Tính đạo hàm

*

*

. Lúc đó là kết quả nào sau đây?

A. $frac14.$ B. $frac116.$ C. $frac132.$ D. Không tồn tại.

Câu 7. Cho hàm số . Lúc đó  là hiệu quả nào sau đây?

A. Không tồn tại. B. 0  C. 1. D. 2.

Câu 8. Cho hàm số

*

. Để hàm số này có đạo hàm trên $x=2$ thì cực hiếm của b

A. $b=3.$ B. $b=6.$ C. $b=1.$ D. $b=-6.$

Câu 9. Số gia của hàm số ứng với x với là

A. B. C. D.

Câu 10. Xét bố mệnh đề sau:

(1) ví như hàm số có đạo hàm tại điểm hì liên tiếp tại điểm đó.

(2) giả dụ hàm số tiếp tục tại điểm thì gồm đạo hàm trên điểm đó.

(3) trường hợp ngăn cách tại thì chắc chắn không tồn tại đạo hàm tại điểm đó.

Trong bố câu trên:

A. Có nhì câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai.

C. Cả tía đều đúng. D. Cả cha đều sai.

Câu 11. Xét hai câu sau:

(1) Hàm số liên tục tại

(2) Hàm số có đạo hàm trên

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (2) đúng. B. Chỉ bao gồm (1) đúng. C. Cả hai đông đảo đúng. D. Cả hai mọi sai.

Câu 12. Cho hàm số . Xét nhị câu sau:

(2). Hàm số trên thường xuyên tại .

Trong hai câu trên:

A. Chỉ gồm (1) đúng. B. Chỉ bao gồm (2) đúng. C. Cả hai mọi đúng. D. Cả hai số đông sai.

Câu 13. Tìm nhằm hàm số
 tại $x_0=0$

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 17. Tính đạo hàm $f(x)=fracx$ trên $x_0=-1$.

A. 2 B. 0 C. 3 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Câu 1.

Chọn A

Với số gia của đối số x trên Ta có

Câu 2.

Chọn B

Ta có :

Nên

Vậy

Câu 3.

Chọn B.

Gọi  là số gia của đối số trên 0 làm thế nào để cho > 0.

Ta bao gồm .

Nên hàm số không tồn tại đạo hàm trên 0.

Câu 4.

Chọn C.

$undersetx o 1mathoplim ,fracf(x)-f(1)x-1=undersetx o 1mathoplim ,fracsqrtx^3-2x^2+x+1-1(x-1)^2=undersetx o 1mathoplim ,fracxsqrtx^3-2x^2+x+1+1=frac12$

Vậy $f"(1)=frac12$.

Câu 5.

Chọn D.

Ta gồm $undersetx o 1^+mathoplim ,f(x)=undersetx o 1^+mathoplim ,left( 2x+3 ight)=5$

$undersetx o 1^-mathoplim ,f(x)=undersetx o 1^-mathoplim ,fracx^3+2x^2-7x+4x-1=undersetx o 1^-mathoplim ,(x^2+3x-4)=0$

Dẫn tới $undersetx o 1^+mathoplim ,f(x) e undersetx o 1^-mathoplim ,f(x)Rightarrow $ hàm số không liên tiếp tại $x=1$ buộc phải hàm số không có đạo hàm trên $x_0=1$.

Câu 6.

Chọn B

Ta tất cả

Câu 7.

Chọn A.

Ta có nên .

Do yêu cầu ko tồn tại.

Câu 8.

Chọn B

Ta có

có đạo hàm trên $x=2$ khi và chỉ còn khi liên tiếp tại $x=2$

Câu 9.

Chọn A

Ta có

Câu 10.

Chọn A

(1) nếu hàm số tất cả đạo hàm tại điểm hì liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) nếu hàm số liên tiếp tại điểm thì gồm đạo hàm trên điểm đó.

Phản ví dụ như

Lấy hàm ta bao gồm yêu cầu hàm số liên tục trên .

Nhưng ta có 

Nên hàm số không tồn tại đạo hàm tại .

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) ví như cách biệt tại thì chắc hẳn rằng không có đạo hàm tại điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng phải ta bao gồm không liên tiếp tại thì gồm đạo hàm trên điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Câu 11.

Chọn B

Ta có :

Vì số lượng giới hạn hai bên khác nhau nên ko tồn tại số lượng giới hạn của khi .

Vậy hàm số không có đạo hàm trên

Câu 12.

Chọn B.

Ta tất cả

+) $undersetx o 0^+mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0^+mathoplim ,left( x^2+x ight)=0$.

+) $undersetx o 0^-mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0^-mathoplim ,left( x^2-x ight)=0$.

+) $fleft( 0 ight)=0$.

$Rightarrow undersetx o 0^+mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0^-mathoplim ,fleft( x ight)=fleft( 0 ight)$. Vậy hàm số liên tiếp tại $x=0$.

Mặt khác:

+) $f"left( 0^+ ight)=undersetx o 0^+mathoplim ,fracfleft( x ight)-fleft( 0 ight)x-0=undersetx o 0^+mathoplim ,fracx^2+xx=undersetx o 0^+mathoplim ,left( x+1 ight)=1$.

+) $f"left( 0^- ight)=undersetx o 0^-mathoplim ,fracfleft( x ight)-fleft( 0 ight)x-0=undersetx o 0^-mathoplim ,fracx^2-xx=undersetx o 0^-mathoplim ,left( x-1 ight)=-1$.

$Rightarrow f"left( 0^+ ight) e f"left( 0^- ight)$. Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x=0$.

Câu 13.

Chọn D

Ta có:;

Hàm bao gồm đạo hàm tại thì hàm thường xuyên tại (1)

(Do)

Hàm gồm đạo hàm trên x = 1

Câu 14.

Chọn A

Hàm số liên tục tại $x=1$ nên Ta gồm

Hàm số có đạo hàm tại $x=1$ buộc phải giới hạn 2 bên của đều nhau và Ta có

Vậy $a=1;b=-frac12$

Câu 15 .

Chọn A

Ta có: $undersetx o 0mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0mathoplim ,xsin frac1x=0$

Vậy $f"(0)=0$.

Câu 16.

Chọn A

Ta có $undersetx o 0^+mathoplim ,f(x)=undersetx o 0^+mathoplim ,fracsin ^2xx=undersetx o 0^+mathoplim ,left( fracsin xx.sin x ight)=0$

$undersetx o 0^-mathoplim ,f(x)=undersetx o 0^-mathoplim ,left( x+x^2 ight)=0$ đề nghị hàm số tiếp tục tại $x=0$

$undersetx o 0^+mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0^+mathoplim ,fracsin ^2xx^2=1$ cùng

$undersetx o 0^-mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0^-mathoplim ,fracx+x^2x=1$

Vậy $f"(0)=1$.

Câu 17.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có hàm số liên tiếp tại $x_0=-1$ cùng

$fracf(x)-f(-1)x+1=fracx(x+1)$

Nên $undersetx o -1^+mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1=undersetx o -1^+mathoplim ,fracx^2+2x+1x(x+1)=0$

$undersetx o -1^-mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1=undersetx o -1^-mathoplim ,fracx^2-1x(x+1)=2$

Do đó $undersetx o -1^+mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1 e undersetx o -1^-mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm $x_0=-1$.

Xem thêm: Công Thức Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Đường Thẳng, Công Thức Tính Khoảng Cách Từ Tâm Đến Đường Thẳng

Nhận xét: Hàm số $y=f(x)$ tất cả đạo hàm tại $x=x_0$ thì phải thường xuyên tại điểm đó.