Det Là Gì Trong Toán Cao Cấp N, Định Thức Của Ma Trận Vuông Cấp N

Bài viết này girbakalim.net giới thiệu định nghĩa vềĐịnh thức của ma trận và các tính chất:

ĐĂNG KÍ full bộ TOÁN CAO CẤP DÀNH mang lại SINH VIÊN TẠI ĐÂY
1. Số nghịch cầm của một hoạn của n số từ bỏ nhiên trước tiên
Xét $Omega =left 1,2,...,n ight$ là tập n số thoải mái và tự nhiên đầu tiên
Ta đang biết có toàn bộ $n!$ thiến của n số tự nhiên và thoải mái đầu tiên
Giả sử $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ là 1 trong những hoán vị của tập $Omega .$ lúc đó hai số $alpha _i$ và $alpha _j$ được điện thoại tư vấn là tạo nên thành một nghịch chũm nếu $alpha _i>alpha _j$ cùng với $iĐể tính số nghịch ráng của một hoán vị $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ ta triển khai như sau:
Đi từ trái qua phải, hotline $k_1$ là số phần tử $alpha _iSố 5 có 4 số (số 1,3,2,4) lép vế nó và nhỏ hơn nó đề nghị tạo 4 nghịch thế;Số 1 không có số như thế nào đứng sau bé dại hơn nó đề xuất tạo 0 nghịch thế;Số 3 có 1 số (số 2) thua cuộc nó và bé dại hơn nó buộc phải tạo 1 nghịch thế;Số 2 không có số nào thua cuộc nó và nhỏ tuổi hơn nó cần tạo 0 nghịch thế.

Bạn đang xem: Det là gì trong toán cao cấp

Vậy hoạn $(5,1,3,2,4)$ có tất cả $4+0+1+0=5$ nghịch thế.
Ví dụ 2:Xét một thiến của 5 số từ bỏ nhiên trước tiên là $(4,3,5,1,2)$ lúc đó:
Số 4 tất cả 3 số (số 3,1,2) đứng sau nó và bé dại hơn nó đề nghị tạo 3 nghịch thế;Số 3 gồm 2 số (số 1,2) thua cuộc nó và bé dại hơn nó đề xuất tạo 2 nghịch thế;Số 5 tất cả 2 số (số 1,2) đứng sau nó và nhỏ hơn nó nên tạo 2 nghịch thế;Số 1 không có số nào che khuất nó và bé dại hơn nó phải tạo 0 nghịch thế.
Vậy hoán vị $(4,3,5,1,2)$ có tất cả $3+2+2+0=7$ nghịch thế.
Ví dụ 3: Xét một thiến của 6 số từ nhiên đầu tiên là $(5,3,1,6,4,2)$ khi đó:
Số 5 gồm 4 số (số 3,1,4,2) che khuất nó và nhỏ dại hơn nó nên tạo 4 nghịch thế;Số 3 tất cả 2 số (số 1,2) đứng sau nó và bé dại hơn nó nên tạo 2 nghịch thế;Số 1 không có số nào đứng sau nó và nhỏ hơn nó đề nghị tạo 0 nghịch thế;Số 6 gồm 2 số (số 4,2) lép vế nó và nhỏ hơn nó đề nghị tạo 2 nghịch thế;Số 4 có một số (số 2) che khuất nó và nhỏ hơn nó đề xuất tạo 1 nghịch thế.
Vậy hoán vị $(5,3,1,6,4,2)$ có tất cả $4+2+0+2+1=9$ nghịch thế.
Ví dụ 4: Xác định số nghịch gắng của hoán vị $(n,n-1,n-2,...,2,1).$
Ví dụ 5: Xác định số nghịch cố gắng của hoán vị $(1,3,5,...,2n-1,2,4,6,...,2n).$
Ví dụ 6: Xác định số nghịch ráng của của hoán vị $(2n-1,2n-3,...,5,3,1,2n,2n-2,...,6,4,2).$
2. Nguyên tố của định thức
Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ là ma trận vuông cung cấp $n$ và $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ là 1 trong hoán vị của $n$ số tự nhiên đầu, khi đó tích $(-1)^alpha a_1alpha _1a_2alpha _2...a_nalpha _n$ được gọi là thành phần của định thức của ma trận $A$ khớp ứng với hoán vị $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n),$ trong các số đó $alpha $ là số nghịch núm của thiến $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n).$
Ví dụ 1: Cho $A=(a_ij)_5 imes 5.$ tìm thành phần của định thức của ma trận $A$ tuơng ứng với hoán vị $(5,1,3,2,4).$
Giải. Hoán vị $(5,1,3,2,4)$ có tất cả 5 nghịch vậy nên thành phần của định thức của ma trận $A$ tuơng ứng với thiến $(5,1,3,2,4)$ là $(-1)^5a_15a_21a_33a_42a_54.$
Ví dụ 2: Cho $A=(a_ij)_5 imes 5.$ tra cứu thành phần của định thức của ma trận $A$ tuơng ứng với thiến $(4,3,5,1,2).$
Giải. Hoán vị $(4,3,5,1,2)$ có toàn bộ 7 nghịch thế nên thành phần của định thức của ma trận $A$ tuơng ứng với hoán vị $(4,3,5,1,2)$ là $(-1)^7a_14a_23a_35a_41a_52.$
Ví dụ 3: Với quý hiếm nào của $m,n$ để $-a_51a_1ma_2na_43a_32$ là thành phần của định thức ma trận cung cấp 5.
Giải. Có $-a_51a_1ma_2na_43a_32=-a_1ma_2na_32a_43a_51$ là yếu tố của định thức tương xứng với hoán vị $(m,n,2,3,1)$ đề xuất $(m,n)=(5,4);(4,5).$
TH1: nếu như $m=5,n=4Rightarrow (5,4,2,3,1)Rightarrow alpha =4+3+1+1=9Rightarrow (-1)^9a_15a_24a_32a_43a_51$ thoả mãn.
TH2: giả dụ $m=4,n=5Rightarrow (4,5,2,3,1)Rightarrow alpha =3+3+1+1=8Rightarrow (-1)^8a_14a_25a_32a_43a_51$(loại).
Vậy $m=5,n=4.$
Ví dụ 4: Trong số những tích dưới đây, tích như thế nào là yếu tố của định thức của ma trận vuông cấp 5 ?
$eginarrayl A_1 = a_23a_14a_52a_41a_35\ A_2 = - a_23a_14a_52a_41a_35\ A_3 = a_53a_34a_12a_41a_35 endarray$
Ví dụ 5: Xác định j, k để $a_3ja_53a_24a_1ka_42$ là nguyên tố của định thức của ma trận vuông cung cấp 5.
Ví dụ 6: Hãy liệt kê tất cả các yếu tắc của định thức cấp cho 6 là tích được gán vết $(-)$ và đựng 3 phần tử $a_21,a_43,a_15.$
Ví dụ 7: Xác định $k,l$ nhằm $-a_17a_23a_33a_4ka_5la_68a_75a_82$ là yếu tắc của định thức cấp cho 8.
Ví dụ 8: Xác định $k,l$ để $a_1ka_23a_34a_47a_5la_62a_76a_85$ là yếu tố của định thức cấp cho 8.
Ví dụ 9: Xác định $k,l$ để $a_1ka_23a_34a_47a_5la_62a_76a_85$ là yếu tố của định thức cấp cho 8.
Ví dụ 10: Xác định $k,l$ nhằm $a_14a_28a_3ka_42a_55a_6la_71a_87$ là nguyên tố của định thức cung cấp 8.
Ví dụ 11: Xác định $k,l$ nhằm $-a_16a_23a_34a_4ka_57a_6la_72a_81$ là yếu tắc của định thức cấp 8.
Ví dụ 12: Cho ma trận $A = left( eginarray20c 1& - 2&x&4\ - 2&4&5& - 6\ x& - 1& - 3&1\ 2&3& - 1&2 endarray ight).$ Tìm những thành phần của định thức $det (A)$ đựng $x^2.$
Giải. Thành phần của định thức cất $x^2$ là $(-1)^alpha a_13a_2ia_31a_4k,$ trong đó $alpha $ là số nghịch cụ của hoạn $(3,i,1,k).$
TH1: nếu $i=2,k=4Rightarrow (3,2,1,4)Rightarrow alpha =2+1+0=3Rightarrow (-1)^3a_13a_22a_31a_41=-8x^2.$
TH2: ví như $i=4,k=2Rightarrow (3,4,1,2)Rightarrow alpha =2+2+0=4Rightarrow (-1)^4a_13a_24a_31a_42=-18x^2.$
Vậy các thành phần của định thức chứa $x^2$ là $-8x^2;-18x^2.$
Ví dụ 13: Cho ma trận $A = left( eginarray20c - 1& - 2& - 3& - 1\ 2&3&1&m\ 3&1&2& - 2\ - 1&2&3&2 endarray ight).$ Tìm toàn bộ các nguyên tố của định thức của ma trận $A$ bao gồm chứa đôi khi $m,a_13$ với được gán dấu $(-).$
Giải. Thành phần của định thức của ma trận $A$ có chứa đồng thời $m,a_13$ là $(-1)^alpha a_13a_24a_3ia_4k$ cùng với $alpha $ là số nghịch ráng của $(3,4,i,k)$, xét ngôi trường hợp nhận $i=2,k=1(alpha =5).$ yếu tắc định thức đề xuất tìm là $(-1)^5a_13a_24a_32a_41=-3m.$
Ví dụ 14: Cho ma trận $A = left( eginarray20c 2&1&2& - 3\ 1&3& - 1& - 2\ k& - 1& - 3&1\ - 1&2& - 1&k endarray ight).$ Tìm tất cả các yếu tố của định thức của ma trận $A$ cất $k^2.$
Giải. Thành phần của định thức chứa $k^2$ là $(-1)^alpha a_1ia_2ja_31a_44$ trong số ấy $alpha $ là số nghịch rứa của $(i,j,1,4).$
TH1: $i=2,j=3Rightarrow (2,3,1,4)Rightarrow alpha =1+1+0=2Rightarrow (-1)^2a_12a_23a_31a_44=-k^2.$
TH2: $i=3,j=2Rightarrow (3,2,1,4)Rightarrow alpha =2+1+0=3Rightarrow (-1)^3a_13a_22a_31a_44=-6k^2.$
Vậy những thành phần của định thức chứa $k^2$ là $-k^2;-6k^2.$
3. Định nghĩa định thức
Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ là ma trận vuông cấp cho $n$ khi ấy định thức của ma trận $A$ là một số được kí hiệu là det(A) hoặc |A| với được xác định bởi công thức:
$det (A)=sumlimits_(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)in S(-1)^alpha a_1alpha _1a_2alpha _2...a_nalpha _n,$ trong các số đó $alpha $ là số nghịch chũm của hoán vị $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ với $S$ là tập hợp tất cả các hoạn của $n$ số thoải mái và tự nhiên đầu tiên.
Ví dụ 1: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ với $a_ijin mathbbZ.$ chứng minh rằng $det (A)$ là số nguyên.
Giải. Vì $det (A)=sumlimits_(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)in S(-1)^alpha a_1alpha _1a_2alpha _2...a_nalpha _n,$ trong các số đó $a_1alpha _1,a_2alpha _2,...,a_nalpha _nin mathbbZ$ buộc phải $det (A)$ là số nguyên.
Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ bao gồm các phần tử nằm bên trên đường chéo cánh chính là số nguyên lẻ và các phần tử còn lại là các số nguyên chẵn. Chứng minh rằng $det (A) e 0.$
Giải. Có $det (A)=sumlimits_(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)in S(-1)^alpha a_1alpha _1a_2alpha _2...a_nalpha _n,$ trong các số ấy có số hạng $a_11a_22...a_nn$ là một vài nguyên lẻ vày là tích của các số nguyên lẻ; tất cả các số hạng còn lại đều là số nguyên chẵn vị mỗi tích đều chứa số nguyên chẵn. Cho nên vì vậy $det (A)$ là số nguyên lẻ, vậy $det (A) e 0.$
Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ với $a_ijin mathbbZ.$ chứng minh rằng $det (2A+3E) e 0.$
Giải.Ma trận $2A+3E$ tất cả các phần tử nằm trên đường chéo cánh chính là số nguyên lẻ; các bộ phận nằm kế bên đường chéo cánh chính là số nguyên chẵn. Vậy theo lấy ví dụ 2 tất cả $det (2A+3E) e 0.$
Ví dụ 4: Cho ma trận $A$ vuông cấp cho $n$ có tối thiểu $n^2-n+1$ bộ phận bằng 0. Chứng tỏ rằng $det (A)=0.$
Ví dụ 5: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ cùng với $a_ij=-1,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ chứng tỏ rằng $det (A) e 0.$
4.Định thức cấp cho 2 và định thức cấp cho 3
Định thức cung cấp 2: $left| eginarray20c a_11&a_12\ a_21&a_22 endarray ight| = a_11a_22 - a_21a_12.$
Định thức cấp cho 3: $left| eginarray20c a_11&a_12&a_13\ a_21&a_22&a_23\ a_31&a_32&a_33 endarray ight| = a_11a_22a_33 + a_12a_23a_31 + a_13a_21a_32 - (a_11a_23a_32 + a_12a_21a_33 + a_13a_22a_31).$
Đối với định thức cấp 3 hoàn toàn có thể dùng quy tắc tính nhanh sau:
Các đường chéo cánh từ trên xuống sở hữu dấu cộng, các đường chéo từ bên dưới lên với dấu trừ:
Ví dụ 1: Tìm $x$ biết $left| eginarray20c 1&x& - 2\ - 1&1&2\ x&2&3 endarray ight| = 0.$
Giải. $left| eginarray20c 1&x& - 2\ - 1&1&2\ x&2&3 endarray ight|eginarray20c 1&x\ - 1&1\ x&2 endarray = 1.1.3 + x.2.x + ( - 2).( - 1).2 - left( x.1.( - 2) + x.2.1 + 3.( - 1).x ight) = 2x^2 + 5x + 3.$
Vậy $2x^2+5x+3=0Leftrightarrow x=-1;x=-frac32.$
Ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray20c 4&1&m\ 2&2&2\ - 3&3&1 endarray ight|.$
Giải. Có$left| eginarray20c 4&1&m\ 2&2&2\ - 3&3&1 endarray ight|eginarray20c 4&1\ 2&2\ - 3&3 endarray = 4.2.1 + 1.2.( - 3) + m.2.3 - left( ( - 3).2.m + 3.2.4 + 1.2.1 ight) = 12m - 24.$
Ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray20c 1&sin a&cos a\ 1&sin b&cos b\ 1&sin c&cos c endarray ight|.$
Giải.Có$left| eginarray20c 1&sin a&cos a\ 1&sin b&cos b\ 1&sin c&cos c endarray ight|eginarray20c 1&sin a\ 1&sin b\ 1&sin c endarray = 1.sin b.cos c + sin a.cos b.1 + cos a.1.sin c - left( 1.sin b.cos a + sin c.cos b.1 + cos c.1.sin a ight).$
Ví dụ 4:Tính định thức $left| eginarray20c a&b&c\ b&c&a\ c&a&b endarray ight|$ biết $a,b,c$ là tía nghiệm của phương trình $2x^3-3x^2-4x+1=0.$
Giải. Có $left| eginarray20c a&b&c\ b&c&a\ c&a&b endarray ight|eginarray20c a&b\ b&c\ c&a endarray = abc + abc + abc - (c^3 + a^3 + b^3) = 3abc - a^3 - b^3 - c^3.$
Theo vi – ét tất cả $left{ eginarrayl a + b + c = frac32\ ab + bc + ca = - 2\ abc = - frac12 endarray ight..$
Vậy $det (A)=-frac998.$
Ví dụ 5: Tìm $m$ làm thế nào để cho $left| eginarray20c 2&2&m\ m&2&2\ 2&m&2 endarray ight| = 0.$
Giải. Có $left| eginarray20c 2&2&m\ m&2&2\ 2&m&2 endarray ight|eginarray20c 2&2\ m&2\ 2&m endarray = 2^3 + 2^3 + m^3 - (4m + 4m + 4m) = m^3 - 12m + 16.$
Vậy $m^3-12m+16Leftrightarrow m=2;m=-4.$
Ví dụ 6: Tính định thức $left| eginarray20c cos alpha &sin alpha cos eta &sin alpha sin eta \ - sin alpha &cos alpha cos eta &cos alpha sin eta \ 0& - sin eta &cos eta endarray ight|.$
Ví dụ 7: Tính định thức $left| eginarray20c a^2 + 1&ab&ac\ ab&b^2 + 1&bc\ ac&bc&c^2 + 1 endarray ight|.$
Ví dụ 8: Tính định thức $left| eginarray20c 1&1&varepsilon \ 1&1&varepsilon ^2\ varepsilon ^2&varepsilon &varepsilon endarray ight|$ cùng với $varepsilon =cos frac2pi 3+isin frac2pi 3.$
Ví dụ 9: Tính định thức $left| eginarray20c a + b&ab&a^2 + b^2\ b + c&bc&b^2 + c^2\ c + a&ca&c^2 + a^2 endarray ight|.$
Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray20c 1&a&a^2\ 1&b&b^2\ 1&c&c^2 endarray ight|.$
Ví dụ 11: Tính định thức $left| eginarray20c a&b&c\ b&c&a\ c&a&b endarray ight|$ trong các số đó $a,b,c$ là tía nghiệm của phương trình $x^3-2018x+2019=0.$
Ví dụ 12: Tính định thức $left| eginarray20c sin ^2a&1&cos ^2a\ sin ^2b&1&cos ^2b\ sin ^2c&1&cos ^2c endarray ight|.$
5. Các tính chất của định thức
Tính chất 1: Cho A là ma trận vuông, lúc đó $left| A ight|=left| A" ight|.$
Tính hóa học 2: Nếu toàn bộ các bộ phận của một dòng hoặc một cột của định thức bằng 0 thì định thức đó bằng 0.
Tính chất 3: Trong một định thức ví như đổi vị trí hai cái và vị trí các dòng khác giữ nguyên hoặc đổi chỗ hai cột với vị trí các cột khác không thay đổi thì định thức thay đổi dấu.
Hệ quả 1: Nếu định thức tất cả hai chiếc hoặc hai cột tương đương nhau thì định thức đó bằng 0.
Tính hóa học 4: Nhân một loại nào kia của định thức với số $alpha $ hoặc nhân một cột nào đó của định thức cùng với số $alpha $ ta được định thức mới bởi định thức cũ nhân cùng với số $alpha .$
Hệ quả 2: $det (alpha A)=alpha ^ndet (A).$
Hệ trái 3: Nếu định thức gồm hai cái hoặc nhì cột tỉ lệ thành phần thì định thức đó bởi 0.
Tính chất 5: Cộng vào một dòng tích của dòng khác với số $alpha $ hoặc cộng vào một cột tích của cột không giống với số $alpha $ thì định thức khôngđổi.
Tính chất 6: Định thức bằng 0 khi và chỉ còn khi hệ véctơ dòng hoặc hệ véctơ cột của định thức phụ thuộc tuyến tính.
Hệ trái 4: Định thức không giống 0 khi còn chỉ khi hệ véctơ dòng hoặc hệ véctơ cột của định thức chủ quyền tuyến tính.
Tính chất 7: Khi các phần tử của một cái hoặc một cột gồm dạng tổng của hai số hạng thì ta gồm thể tách bóc định thức thành tổng của nhì định thức.
Ví dụ 1: Cho $a_i,b_i,c_i(i=1,2,3)$ là những số trường đoản cú nhiên nhỏ tuổi hơn hoặc bằng 9. Chứng minh rằng:
$left| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight| = left| eginarray20c a_1&b_1&overline a_1b_1c_1 \ a_2&b_2&overline a_2b_2c_2 \ a_3&b_3&overline a_3b_3c_3 endarray ight|.$
Giải. Chú ý $overlinea_ib_ic_i=a_i.10^2+b_i.10^1+c_i(i=1,2,3).$
Do vậy cùng vào cột thiết bị 3 của định thức tích cột 1 cùng với số 100, tích cột 2 cùng với số 10 ta được định thức không đổi.
Ví dụ 2: Dựa bên trên các tính chất của định thức, tính $left| eginarray20c a&b&c&1\ b&c&a&1\ c&a&b&1\ fracb + c2&fracc + a2&fraca + b2&1 endarray ight|.$
Giải. Nhân thêm vào dòng 4 của định thức cùng với số 2, ta được:
$left| eginarray20c a&b&c&1\ b&c&a&1\ c&a&b&1\ fracb + c2&fracc + a2&fraca + b2&1 endarray ight| = frac12left| eginarray20c a&b&c&1\ b&c&a&1\ c&a&b&1\ b + c&c + a&a + b&2 endarray ight|$
Dòng 4 gồm các bộ phận là tổng của nhì số hạng nên tách bóc được thành tổng của hai định thức:
$left| eginarray20c a&b&c&1\ b&c&a&1\ c&a&b&1\ b + c&c + a&a + b&2 endarray ight| = left| eginarray20c a&b&c&1\ b&c&a&1\ c&a&b&1\ b&c&a&1 endarray ight| + left| eginarray20c a&b&c&1\ b&c&a&1\ c&a&b&1\ c&a&b&1 endarray ight| = 0 + 0 = 0.$
Hai định thức cuối gồm hai dòng giống nhau nên bằng 0.
Vậy $left| eginarray20c a&b&c&1\ b&c&a&1\ c&a&b&1\ fracb + c2&fracc + a2&fraca + b2&1 endarray ight| = 0.$
Ví dụ 3: Chứng minh rằng $left| eginarray20c a_1 + b_1x&a_1 - b_1x&c_1\ a_2 + b_2x&a_2 - b_2x&c_2\ a_3 + b_3x&a_3 - b_3x&c_3 endarray ight| = - 2xleft| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight|.$
Giải.
<eginarrayl left| eginarray20c a_1 + b_1x&a_1 - b_1x&c_1\ a_2 + b_2x&a_2 - b_2x&c_2\ a_3 + b_3x&a_3 - b_3x&c_3 endarray ight|underlineunderline - c_1 + c_2 left| eginarray20c a_1 + b_1x& - 2b_1x&c_1\ a_2 + b_2x& - 2b_2x&c_2\ a_3 + b_3x& - 2b_3x&c_3 endarray ight|\ = - 2xleft| eginarray20c a_1 + b_1x&b_1&c_1\ a_2 + b_2x&b_2&c_2\ a_3 + b_3x&b_3&c_3 endarray ight|underlineunderline - xc_2 + c1 - 2xleft| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight|. endarray>
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: $left| eginarray20c a_1 + b_1x&a_1x + b_1&c_1\ a_2 + b_2x&a_2x + b_2&c_2\ a_3 + b_3x&a_3x + b_3&c_3 endarray ight| = (1 - x^2)left| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight|.$
Giải.
$eginarrayl left| eginarray20c a_1 + b_1x&a_1x + b_1&c_1\ a_2 + b_2x&a_2x + b_2&c_2\ a_3 + b_3x&a_3x + b_3&c_3 endarray ight|underlineunderline - xc1 + c_2 left| eginarray20c a_1 + b_1x&(1 - x^2)b_1&c_1\ a_2 + b_2x&(1 - x^2)b_2&c_2\ a_3 + b_3x&(1 - x^2)b_3&c_3 endarray ight|\ = (1 - x^2)left| eginarray20c a_1 + b_1x&b_1&c_1\ a_2 + b_2x&b_2&c_2\ a_3 + b_3x&b_3&c_3 endarray ight|underlineunderline - xc2 + c_1 (1 - x^2)left| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight|. endarray$
Ví dụ 5: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ với $a_ijin left -1,1 ight.$ chứng minh rằng: $det (A)$chia hết cho $2^n-1.$
Giải. Lấy cái 1 cùng lần lượt vào các dòng 2, 3, …, n lúc ấy định thức không đổi và
Các thành phần từ dòng thứ hai trở đi tất cả dạng $b_ijin left -2,0,2 ight.$ Đặt 2 ra ngoài định thức ta được $det (A)=2^n-1det (B)$ với $det (B)in mathbbZ$ vì chưng có tất cả các bộ phận đều nguyên. Vậy $det (A)$ chia hết mang lại $2^n-1.$
Ví dụ 6: Cho ma trận $A=(a_ij)_3 imes 3$ cùng với $a_ijin left -1,1 ight.$ Tìm giá chỉ trị lớn số 1 và giá bán trị bé dại nhất của $det (A).$
Giải. Có $left| eginarray20c a_11&a_12&a_13\ a_21&a_22&a_23\ a_31&a_32&a_33 endarray ight| = a_11a_22a_33 + a_12a_23a_31 + a_13a_21a_32 - (a_11a_23a_32 + a_12a_21a_33 + a_13a_22a_31).$
Vì $a_ijin left -1,1 ight\Rightarrow left| det (A) ight|le 6.$ ngoài ra $det (A)$ phân tách hết mang lại $2^3-1=4$ buộc phải $det (A)in left -4,0,4 ight.$
Vậy giá bán trị lớn nhất của $det (A)$ bởi 4 đạt tại chẳng hạn $A = left( eginarray20c - 1&1&1\ 1& - 1&1\ 1&1& - 1 endarray ight).$
Giá trị nhỏ tuổi nhất của $det (A)$ bằng $-4$ đạt tại chẳng hạn $A = left( eginarray20c 1&1& - 1\ 1& - 1&1\ - 1&1&1 endarray ight).$
Ví dụ 7: Cho ma trận $A=(a_ij)_3 imes 3$ với $a_ijin left 0,1 ight.$ Tìm giá bán trị lớn nhất và giá chỉ trị nhỏ dại nhất của $det (A).$
Giải. Có $left| eginarray20c a_11&a_12&a_13\ a_21&a_22&a_23\ a_31&a_32&a_33 endarray ight| = a_11a_22a_33 + a_12a_23a_31 + a_13a_21a_32 - (a_11a_23a_32 + a_12a_21a_33 + a_13a_22a_31).$
Vì $a_ijin left 0,1 ight\Rightarrow -3le det (A)le 3.$ tuy vậy các dấu bằng không thể xảy ra vì lúc đó $a_ij=1,forall i,j=1,2,3vee a_ij=0,forall i,j=1,2,3Rightarrow det (A)=0.$Vậy $-2le det (A)le 2.$
Vậy giá trị lớn số 1 của $det (A)$ bởi 2 đạt tại ví dụ điển hình $A = left( eginarray20c 0&1&1\ 1&0&1\ 1&1&0 endarray ight).$
Giá trị bé dại nhất của $det (A)$ bằng $-2$ đạt tại ví dụ điển hình $A = left( eginarray20c 1&1&0\ 1&0&1\ 1&1&1 endarray ight).$
Ví dụ 8: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ với $a_ij$ là các số chính phương lẻ. Minh chứng rằng: $det (A)$chia hết đến $8^n-1.$
Giải. Từ dòng thứ 2 trở đi theo lần lượt trừ đi dòng trước tiên làm định thức không thay đổi.
Khi kia từ cái 2: Mỗi phần tử có dạng $(2k+1)^2-(2l+1)^2=4(k-l)(k+l+1).$
Nếu $k-l=2mRightarrow 4(k-l)(k+l+1)=8m(k+l+1)$ phân chia hết đến 8;
Nếu $k-l=2m+1Rightarrow 4(k-l)(k+l+1)=4(2m+1)(2m+1+2l+1)=8(2m+1)(m+l+1)$ phân tách hết mang lại 8.
Do đó tất cả các bộ phận từ dòng thứ 2 trở đi rất nhiều chia hết mang lại 8, để 8 ra bên ngoài có $det (A)=8^n-1det (B).$ Vậy $det (A)$chia hết đến $8^n-1.$
Ví dụ 9: Cho ma trận $A=(a_ij)_4 imes 4$ với $a_ijin left -1,1 ight.$ chứng tỏ rằng $left| det (A) ight|le 16.$
Giải. Khai triển theo cột 1 có
$eginarrayc det (A) = a_11A_11 + a_21A_21 + a_31A_31 + a_41A_41\ = a_11.( - 1)^1 + 1M_11 + a_21.( - 1)^2 + 1M_21 + a_31.( - 1)^3 + 1M_31 + a_41.( - 1)^4 + 1M_41\ = a_11M_11 - a_21M_21 + a_31M_31 - a_41M_41. endarray$
Khi đó
$eginarrayc left| det (A) ight| = left| a_11M_11 - a_21M_21 + a_31M_31 - a_41M_41 ight|\ le left| a_11M_11 ight| + left| a_21M_21 ight| + left| a_31M_31 ight| + left| a_41M_41 ight|\ = left| M_11 ight| + left| M_21 ight| + left| M_31 ight| + left| M_41 ight|\ le 4 + 4 + 4 + 4 = 16. endarray$
Do $a_ijin left -1,1 ight$ với $left| M_ij ight|le 4$ (theo ví dụ như 6).
Ví dụ 10: Cho ma trận $A=(a_ij)_5 imes 5$ với $a_ijin left -1,1 ight.$ minh chứng rằng $left| det (A) ight|le 64.$
Ví dụ 11: Cho $D = left| eginarray20c a_11&a_12&...&a_1n\ a_21&a_22&...&a_2n\ ...&...&...&...\ a_n1&a_n2&...&a_nn endarray ight|$ và $D_i=overlinea_i1a_i2...a_in ext (i=1,2,...,n)$ cùng với $a_ij$ là số thoải mái và tự nhiên từ 1 đến 9. Chứng tỏ rằng $D$ phân tách hết cho ước chung lớn số 1 của $D_1,D_2,..,D_n.$
Giải. Cộng vào cột máy n của định thức tích cột trước tiên với $10^n-1;$ tích cột thứ 2 với $10^n-2;...;$ tích cột lắp thêm $n-1$ cùng với $10^1$ ta được:
$D = left| eginarray20c a_11&a_12&...&a_11.10^n - 1 + a_12.10^n - 2 + ... + a_1n - 1.10^1 + a_1n\ a_21&a_22&...&a_21.10^n - 1 + a_22.10^n - 2 + ... + a_2n - 1.10^1 + a_2n\ ...&...&...&...\ a_n1&a_n2&...&a_n1.10^n - 1 + a_n2.10^n - 2 + ... + a_nn - 1.10^1 + a_nn endarray ight| = left| eginarray20c a_11&a_12&...&D_1\ a_21&a_22&...&D_2\ ...&...&...&...\ a_n1&a_n2&...&D_n endarray ight|.$
Gọi k là mong chung lớn số 1 của $D_1,D_2,..,D_nRightarrow D_i=k.d_i(i=1,2,...,n;d_iin mathbbZ).$
Vậy
Do kia ta bao gồm điều yêu cầu chứng minh.
Ví dụ 12: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ với $a_ij+a_ji=0,forall i,j=1,2,...,n$ cùng $n$ là số tự nhiên lẻ. Chứng tỏ rằng $det (A)=0.$
Giải.Có $A=(a_ij)_n imes n;A"=(a_ji)_n imes n.$ Vậy $a_ij+a_ji=0,forall i,j=1,2,...,nRightarrow A"=-A.$
Mặt khác $det (A)=det (A")Rightarrow det (A)=det (-A)=(-1)^ndet (A)=-det (A)Leftrightarrow det (A)=0.$
Ví dụ 13: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n.$ chứng minh rằng $left( A-A" ight)^prime =A"-A.$
Giải. Có $A=(a_ij)_n imes nRightarrow A"=(a_ji)_n imes n.$
Khi kia $A-A"=left( a_ij-a_ji ight)_n imes nRightarrow left( A-A" ight)^prime =left( a_ji-a_ij ight)_n imes n$ cùng $A"-A=left( a_ji-a_ij ight)_n imes n.$
Vậy $left( A-A" ight)^prime =A"-A.$
Ví dụ 14: Cho A là ma trận vuông cấp 2019. Chứng minh rằng $det (A-A")=0.$
Giải. Theo câu 13 bao gồm $left( A-A" ight)^prime =A"-A.$
Có $det (A-A")=det left( left( A-A" ight)^prime ight)=det (A"-A)=det left( -1(A-A") ight)=(-1)^2019det (A-A").$
Vậy $det (A-A")=0.$
Câu 15. Chứng minh rằng $left| eginarray20c 1&a&bc\ 1&b&ca\ 1&c&ab endarray ight| = left| eginarray20c 1&a&a^2\ 1&b&b^2\ 1&c&c^2 endarray ight|.$
Giải. Có $left| eginarray20c 1&a&bc\ 1&b&ca\ 1&c&ab endarray ight|underlineunderline (a + b + c)c_2 + c_3 left| eginarray20c 1&a&a^2 + ab + bc + ca\ 1&b&b^2 + ab + bc + ca\ 1&c&c^2 + ab + bc + ca endarray ight|underlineunderline - (ab + bc + ca)c1 + c_3 left| eginarray20c 1&a&a^2\ 1&b&b^2\ 1&c&c^2 endarray ight|.$
Câu 16. Chứng minh rằng $left| eginarray20c 1&a&a^3\ 1&b&b^3\ 1&c&c^3 endarray ight| = (a + b + c)left| eginarray20c 1&a&a^2\ 1&b&b^2\ 1&c&c^2 endarray ight|.$
Giải. Có
$eginarrayl left| eginarray20c 1&a&a^3\ 1&b&b^3\ 1&c&c^3 endarray ight| = left| eginarray20c 1&a&a^3 - abc + a(ab + bc + ca)\ 1&b&b^3 - abc + b(ab + bc + ca)\ 1&c&c^3 - abc + c(ab + bc + ca) endarray ight|( - abc.c1 + (ab + bc + ca).c2 + c3)\ = left| eginarray20c 1&a&a^2(a + b + c)\ 1&b&b^2(a + b + c)\ 1&c&c^2(a + b + c) endarray ight| = (a + b + c)left| eginarray20c 1&a&a^2\ 1&b&b^2\ 1&c&c^2 endarray ight|. endarray$
Ví dụ 17. Chứng minh rằng $left| eginarray20c a_0&a_1&a_2&...&a_n\ a_0&x&a_2&...&a_n\ a_0&a_1&x&...&a_n\ ...&...&...&...&...\ a_0&a_1&a_2&...&x endarray ight| = a_0(x - a_1)(x - a_2)...(x - a_n).$
Giải. Đặt $P(x) = left| eginarray20c a_0&a_1&a_2&...&a_n\ a_0&x&a_2&...&a_n\ a_0&a_1&x&...&a_n\ ...&...&...&...&...\ a_0&a_1&a_2&...&x endarray ight|,$ đấy là đa thức $P(x)$ gồm số hạng cùng với luỹ thừa bậc cao nhất là $a_0x^n.$
Chú ý $P(a_i)=0,forall i=1,2,...,n$ (vì định thức có hai cái giống nhau nên bởi 0).
Điều đó chứng tỏ $x=a_1;x=a_2;...;x=a_n$ là nghiệm của $P(x).$ Vậy $P(x)=a_0(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n).$
Ví dụ 18. Chứng minh rằng:
$left| eginarray20c - x&a&b&c\ a& - x&c&b\ b&c& - x&a\ c&b&a& - x endarray ight| = (x - a - b - c)(x - a + b + c)(x + a - b + c)(x + a + b - c).$
Giải. Đặt $P(x) = left| eginarray20c - x&a&b&c\ a& - x&c&b\ b&c& - x&a\ c&b&a& - x endarray ight|,$ thì $P(x)$ là 1 trong đa thức bậc 4 tất cả số hạng cùng với luỹ thừa cao nhất là $x^4.$
Cộng tất cả các dòng vào trong dòng 1, ta gồm $P(x) = left| eginarray20c - x + a + b + c& - x + a + b + c& - x + a + b + c& - x + a + b + c\ a& - x&c&b\ b&c& - x&a\ c&b&a& - x endarray ight| Rightarrow P(a + b + c) = 0.$
Cộng loại 2 vào dòng 1, cộng loại 4 vào dòng xoáy 3 có
$P(x) = left| eginarray20c a - x&a - x&b + c&c + b\ a& - x&c&b\ b + c&b + c&a - x&a - x\ c&b&a& - x endarray ight| Rightarrow P(a - b - c) = 0.$
Cộng loại 1 vào dòng xoáy 3, dòng 2 vào dòng 4 có
$P(x) = left| eginarray20c - x&a&b&c\ a& - x&c&b\ b - x&c + a&b - x&c + a\ a + c&b - x&a + c&b - x endarray ight| Rightarrow P(b - a - c) = 0.$
Cộng loại 1 vào trong dòng 4, cái 2 vào dòng xoáy 3 có
$P(x) = left| eginarray20c - x&a&b&c\ a& - x&c&b\ a + b&c - x&c - x&a + b\ c - x&a + b&a + b&c - x endarray ight| Rightarrow P(c - a - b) = 0.$
Vậy $x=a+b+c;x=a-b-c;x=b-c-a;x=c-a-b$ là tư nghiệm của $P(x).$
Vậy $P(x)=(x-a-b-c)(x-a+b+c)(x+a-b+c)(x+a+b-c).$
Ví dụ 19. Chứng minh rằng $left| eginarray20c a_1 + b_1&b_1 + c_1&c_1 + a_1\ a_2 + b_2&b_2 + c_2&c_2 + a_2\ a_3 + b_3&b_3 + c_3&c_3 + a_3 endarray ight| = 2left| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight|.$
Giải. Có
$eginarrayl left| eginarray20c a_1 + b_1&b_1 + c_1&c_1 + a_1\ a_2 + b_2&b_2 + c_2&c_2 + a_2\ a_3 + b_3&b_3 + c_3&c_3 + a_3 endarray ight| = left| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight| + left| eginarray20c b_1&c_1&a_1\ b_2&c_2&a_2\ b_3&c_3&a_3 endarray ight|\ = left| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight| - left| eginarray20c a_1&c_1&b_1\ a_2&c_2&b_2\ a_3&c_3&b_3 endarray ight| = left| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight| + left| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight| = 2left| eginarray20c a_1&b_1&c_1\ a_2&b_2&c_2\ a_3&b_3&c_3 endarray ight|. endarray$
Ví dụ 20. Chứng minh rằng $left| eginarray20c a^2&(a + 1)^2&(a + 2)^2&(a + 3)^2\ b^2&(b + 1)^2&(b + 2)^2&(b + 3)^2\ c^2&(c + 1)^2&(c + 2)^2&(c + 3)^2\ d^2&(d + 1)^2&(d + 2)^2&(d + 3)^2 endarray ight| = 0.$
Ví dụ 21. Chứng minh rằng $left| eginarray20c x + y&xy&x^2 + y^2\ y + z&yz&y^2 + z^2\ z + x&zx&z^2 + x^2 endarray ight| = (xy + yz + zx)(x - y)(y - z)(z - x).$
Giải.
Ví dụ 22: Không tính định thức, chứng tỏ rằng $left| eginarray*20c 2&5&3\ 4&6&0\ 3&4&5 endarray ight|$ là một vài nguyên phân chia hết mang đến 23.
Ví dụ 25: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ cùng với $nge 2$ và $a_ij=3i+4j,forall i,j=1,2,...,n.$ Tính $det (A).$
Giải. Có $A=B+C$ với $b_ij=3i,forall i=1,2,...,n;c_ij=4j,forall j=1,2,...,n.$
Do đó $det (A)=det (B)+det (C)=0+0=0$ vày $B$ là ma trận có các dòng tỉ lệ nên định thức bằng 0; $C$ là ma trận có những cột tỉ lệ đề nghị định thức bởi 0.
Ví dụ 26: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ cùng với $nge 2$ cùng $a_ij=3i-4j,forall i,j=1,2,...,n.$ Tính $det (A).$
Giải. Có $A=B+C$ với $b_ij=3i,forall i=1,2,...,n;c_ij=-4j,forall j=1,2,...,n.$
Do đó $det (A)=det (B)+det (C)=0+0=0$ bởi $B$ là ma trận có những dòng tỉ lệ buộc phải định thức bởi 0; $C$ là ma trận có những cột tỉ lệ nên định thức bởi 0.
Hiện tại girbakalim.net xây dựng 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 với Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành tài chính của tất cả các trường:
Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và cách thức giải bài bác tập những dạng toán kèm theo mỗi bài xích học. Khối hệ thống bài tập rèn luyện dạng trường đoản cú luận bao gồm lời giải cụ thể tại website để giúp học viên học cấp tốc và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên ăn điểm A thi cuối kì những học phần Toán thời thượng 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường tởm tế.

Xem thêm: Thông Tin Cần Biết Về Xét Nghiệm Adn Là Gì Và Thực Hiện Ở Đâu Chính Xác Nhất?

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được full bộ này:
- ĐH kinh tế Quốc Dân
- ĐH ngoại Thương
- ĐH thương Mại
- học viện chuyên nghành Tài Chính
- học viện chuyên nghành ngân hàng
- ĐH kinh tế tài chính ĐH quốc gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế tài chính của những trường ĐH khác trên khắp cả nước...

16/04/2022

Det Là Gì Trong Toán Cao Cấp

ĐĂNG KÍ full bộ TOÁN CAO CẤP DÀNH mang lại SINH VIÊN TẠI ĐÂY

1. Số nghịch cầm của một hoạn của n số từ bỏ nhiên trước tiên

2. Nguyên tố của định thức

3. Định nghĩa định thức

4.Định thức cấp cho 2 và định thức cấp cho 3

5. Các tính chất của định thức

Hiện tại girbakalim.net xây dựng 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 với Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành tài chính của tất cả các trường: