Tiếp theo, bọn họ có cam kết hiệu $n choose k$. Cách làm của nó là $$n choose k = fracn!k! (n-k)!.$$
Ví dụ, các bạn có thể kiểm tra rằng $$4 choose 0 = frac4!0! 4! = 1, ~~4 choose 1 = frac4!1! 3! = 4, ~~4 choose 2 = frac4!2! 2! = 6, ~~4 choose 3 = frac4!3! 1! = 4, ~~4 choose 4 = frac4!4! 0! = 1.$$
Ký hiệu $n choose k$ hiểu là "$n$ chọn $k$", vì sao là vị $n choose k$ chính là số bí quyết chọn $k$ đồ vật (không nói tính vật dụng tự) trong những $n$ đồ dùng vật. Ví dụ, nếu chúng ta có $4$ con cá với muốnchọn ra $2$ nhỏ cáthì sẽ sở hữu đúng $4 choose 2 = 6$ cách chọn.
Bạn đang xem: Dãy fibonacci trong pascal
 |
| có đúng $4 choose 2 = 6$ cách chọn ra $2$ nhỏ cá tự $4$ con cá |
Các số $n choose k$ chính là các thông số trong khai triển nhị thức Newton. Chúng tạo cho tam giác số nổi tiếng - tam giác số Pascal.
Nếu bọn họ đánh số vật dụng tự cho hình tam giác Pascal như hình sau đây. Mở màn bằng hàng số 0, sản phẩm số 1, mặt hàng số 2, v.v..., và trên từng hàng, chúng ta có số vật dụng 0, số máy 1, số sản phẩm 2, v.v... Vậy thì số thứ $k$ vị trí hàng đồ vật $n$ chính là bằng $n choose k$.
Ví dụ, chúng ta thấy trên hàng thứ $4$, họ có số $1$, $4$, $6$, $4$, $1$, đó chính là $4 choose 0$, $4 choose 1$, $4 choose 2$, $4 choose 3$, $4 choose 4$.
Hằng đẳng thức mà chúng ta học ngày từ bây giờ đó là $$F_n+1 =sum_v+u=nv choose u.$$Lấy một vài ba ví dụ lúc $n=0,1,2,dots,6$ họ có $$F_1 = 0 choose 0, ~~F_2 = 1 choose 0, ~~F_3 = 2 choose 0 + 1 choose 1, ~~F_4 = 3 choose 0 + 2 choose 1,$$ $$F_5 = 4 choose 0 + 3 choose 1 + 2 choose 2, ~~F_6 = 5 choose 0 + 4 choose 1 + 3 choose 2,$$ $$F_7 = 6 choose 0 + 5 choose 1 + 4 choose 2 + 3 choose 3$$ những đẳng thức này đến ta thấy một mối liên hệ thú vị giữa tam giác số Pascal cùng dãy số Fibonacci. Hình vẽ sau đây minh hoạ điều đó. Nếu bọn họ cọng những số trong tam giác Pascal theo đường chéo như trong hình mẫu vẽ thì chúng ta sẽ có tổng là những số Fibonacci.
 |
| Tổng theo mặt đường chéo: $F_7 = 6 choose 0 + 5 choose 1 + 4 choose 2 + 3 choose 3=13$ |
Chúng ta đang dùng việc xếp hình để minh chứng hằng đẳng thức. Xin kể lại, dãy số Fibonaccicó một ý nghĩa tổ hợp phụ thuộc vào bài toán xếp hình sau đây
Bài toán xếp hình:Cho phép sử dụng hai một số loại gạch có form size $1 imes 1$ với $1 imes 2$, bao gồm bao nhiêu cách khác nhau để cần sử dụng hai các loại gạch này xếp thành một hình chữ nhật có kích cỡ $1 imes n$?
 |
| $X_1=1$, $X_2 = 2$, $X_3=3$, $X_4=5$. |
Gọi $X_n$ là số bí quyết xếp hình chữ nhật có kích cỡ $1 imes n$ bằng phương pháp dùng hai nhiều loại gạch có kích thước $1 imes 1$ và $1 imes 2$. Bọn họ thấy rằng muốn tạo thành một hình chữ nhật $1 imes n$, đầu tiên bọn họ phải quyết định xem họ sẽ tạo ra cái ô vuông đầu tiên bằng cách nào. Tất cả hai cách. Chúng ta có thể dùng loại gạch $1 imes 1$ để tạo ra cái ô vuông đầu tiên, hoặc, bạn cũng có thể dùng một số loại gạch $1 imes 2$.
Nếu bọn họ dùng loại gạch $1 imes 1$ đểtạo racái ô vuông thứ nhất thì bọn họ còn lại $n-1$ ô vuông. Có bao nhiêu cáchđểtạora $n-1$ loại ô vuông tiếp theo? Đó chính là $X_n-1$ cách.
Còn nếu họ dùng nhiều loại gạch $1 imes 2$ đểtạo rahai dòng ô vuông đầu tiên thì bọn họ cònlại$n-2$ ô vuông. Có bao nhiêu biện pháp đểtạora$n-2$ ô vuông? Đó chính là $X_n-2$ cách.
Như vậy, tổng cọng họ sẽ gồm $X_n-1 + X_n-2$ cách tạo thành hình chữ nhật $1 imes n$. Bởi vì vậy họ cócông thức $$X_n = X_n-1 + X_n-2.$$
Tức là $$X_1 = 1, ~~X_2 = 2, ~~X_3 = 3, ~~X_4 = 5, ~~X_5 = 8, dots$$Từ kia suy ra$$X_n = F_n+1.$$Vậy muốn chứng tỏ hằng đẳng thức, bọn họ cần buộc phải chứng minh$$X_n = sum_v+u=nv choose u.$$
Chúng ta xem xét rằng nếu họ xây dựng một hình chữ nhật $1 imes n$ bằng cách sử dụng $v$ viên gạch, trong số ấy $u$ viên gạch có dạng $1 imes 2$ cùng $(v-u)$ viên gạch gồm dạng $1 imes 1$, thì bằng cách cọng tổng độ dài các viên gạch lại chúng ta có $$n = 2 imes u + 1 imes (v-u).$$
Bây giờ chúng ta nhìn mẫu vẽ sau. Họ có $v$ vị trí mang lại $v$ viên gạch. Trong $v$ địa chỉ này chúng ta phải chọn ra $u$ vị trí mà họ sẽ cần sử dụng viên gạch men $1 imes 2$. (Còn $(v-u)$ vị trí sót lại sẽ là các loại gạch $1 imes 1$.) tức là trong $v$ "con cá", chúng ta phải lựa chọn ra $u$ "con cá". Tất cả bao nhiêu giải pháp chọn? chính là $v choose u$ phương pháp chọn.
Xem thêm: Tại Sao Xung Thần Kinh Lan Truyền Trên Sợi Thần Kinh Có Bao Miêlin Theo Cách Nhảy Cóc
Vì vậy đề xuất tổng số các cách tạo ra hình chữ nhật $1 imes n$ sẽ là $$sum_v+u=nv choose u.$$Và cuối cùng họ sẽ tất cả hằng đẳng thức$$X_n = sum_v+u=nv choose u.$$
Vậy họ đã trình bày kết thúc một cách chứng tỏ hằng đẳng thức sau bằng phương pháp tổ hợp$$F_n+1 = sum_v+u=nv choose u.$$Ví dụ cùng với $n=2011$ với $n=2012$ họ có hằng đẳng thức độc đáo sau đây$$2011 choose 0 + 2010 choose 1 + 2009 choose 2+ 2008 choose 3+ dots + 1007 choose 1004+ 1006 choose 1005 = F_2012,$$ $$2012 choose 0 + 2011 choose 1 + 2010 choose 2+ 2009 choose 3+ dots + 1007 choose 1005+ 1006 choose 1006 = F_2013.$$
Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau, bọn họ sẽ học thêm về dãy số. Các bạn còn nhớ bí quyết cho hàng số Fibonacci không? Đó là $$F_n = frac1sqrt5 left< left( frac1 + sqrt52 ight)^n - left( frac1 - sqrt52 ight)^n ight>$$Nếu chúng ta tò mò muốn biết bởi sao bạn cũng có thể tìm ra được công thức kỳ kỳ lạ này, thì chúng ta hãy đón đọc các kỳ sau. Chúng ta sẽ học cách tìm phương pháp cho một dãy số tổng quát. Xin hẹn chạm mặt lại các bạn.
Sử dụng đặc điểm của tam giác Pascal để tìm cách minh chứng khác đến hằng đẳng thức$$F_n+1 = sum_v+u=nv choose u.$$
Labels:bài toán xếp hình,dãy số,đại số,Fibonacci,giai thừa,hằng đẳng thức,nhị thức Newton,quy nạp,rời rạc,sai phân,tam giác Pascal
Bài đăng bắt đầu hơnBài đăng Cũ hơnTrang chủ
Ủng hộ sân vườn Toán bên trên facebook
Lưu trữ Blog
► 2017(1) ► 2016(7) ► 2015(12) ► 2014(12) ▼ 2013(26) ▼ tháng hai(3) ► 2012(36) ► 2011(7)
Bài toán liên kết facebook
Phép nhân thời vật đá
Mắt Biếc hồ Thu
Lục giác kỳ diệu
Định lý Pitago
1 = 2012 = 2013
Dãy số Fibonacci cùng một việc xếp hình
James vẽ hình
Câu hỏi của James
Hình vuông số thiết yếu phương kỳ diệu của Vianney!
Câu đố vui về đo lường
Công thức lượng giác Gauss mang đến 17-giác đều
Chào năm mới 2014
Chào năm mới tết đến 2015
Chào năm mới tết đến 2016
Không gian 4 chiều là gì?
Dựng hình đa giác đều
Dựng nhiều giác số đông 15 cạnh
Ngày số Pi (2015)
Ngày số Pi (2016)
0.9999999... Có bằng 1 không? (2015)
Hình tam giác
Bàn cờ vua với kim tự tháp
Dãy số - Phần 1
Dãy số - Phần 2Dãy số - Phần 3Dãy số - Phần 4Dãy số - Phần 5Dãy số - Phần 6Dãy số - Phần 7Dãy số - Phần 8Dãy số - Phần 9
Tam giác Pascal
Quy nạpQuy hấp thụ IIQuy hấp thụ IIINhị thức Newton1 = 2012 = 2013Đa thức nội suy NewtonĐa thức nội suy LagrangeChứng minh Định lý Wilson bởi công thức nội suyTổng luỹ thừa
Số phức
Số phức
phương pháp Moivre
Lượng giác
Công thức lượng giác mang đến góc bội
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Ngày số Pi (2016)
Radian là gì?
modulo - Phần 1
modulo - Phần 2
modulo - Phần 3
modulo - Phần 4
modulo - Phần 5
modulo - Phần 6
Số nguyên tố
Định lý Euclid về số nguyên tố
Một vài bài toán về số nguyên tố
Định lý Wilson
Bộ số Pitago
Modulo đến số hữu tỷ
Modulo đến số hữu tỷ II
Chứng minh lại định lý Wilson
Bổ đề Bezout
Thuật toán Euclid
Tổng luỹ thừa
Tổng luỹ thừa cùng định lý Wolstenholme
Câu đố vui về đo lường
Dựng nhiều giác đông đảo 15 cạnh
Bò đi bé bọ cạp!
Liên phân số Fibonacci
Hằng đẳng thức Pitago
Hình vuông số vi diệu của Euler
Bài toán liên kết facebook
Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hìnhHằng đẳng thức về hàng số FibonacciDãy số Fibonacci và tam giác Pascal
Định lý Pitago
Định lý đường cao tam giác vuôngĐịnh lý MorleyPhương tíchTrục đẳng phương và vai trung phong đẳng phươngĐịnh lý Ceva với Định lý MenelausLục giác kỳ diệuĐịnh lý PascalĐịnh lý PappusCánh bướm PascalBài toán nhỏ bướmĐịnh lý ngôi sao 5 cánh Do TháiHãy để ý trường hợp quánh biệtBài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất với một đặc thù của hình elípĐiểm Fermat của hình tam giácĐiểm Fermat của hình tam giác II
Dựng hình bởi thước với compa
Bài toán phân chia hình tứ giácDựng hình ngũ giác đềuDựng hình nhiều giác đềuDựng đa giác hồ hết 15 cạnhĐịnh lý con đường cao tam giác vuôngThuật toán dựng hìnhCông thức lượng giác Gauss mang đến 17-giác phần nhiều Dựng hình chỉ bởi compa cần sử dụng compa chia đông đảo đoạn thẳng