Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ở bài xích này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Bạn đang xem: Cực trị hàm nhiều biến toán cao cấp

đến hàm f(x,y) xác định trong miền D cùng điểm

*

1. Định nghĩa:

Ta nói

*
là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), trường hợp tồn tại
*
_lân cận của
*
sao cho:

*

(

*
)

Nếu hàm số f đạt cực to hay cực tiểu (địa phương) tại

*
thì ta nói hàm f đạt rất trị (địa phương) trên
*

Nhận xét:

– Hàm số

*
đạt rất tiểu (cực đại) trên
*
nếu:
*

– giả dụ

*
chuyển đổi dấu khi
*
đổi khác thì hàm số không đạt rất trị trên
*

Ví dụ: bạn hãy xét coi hàm số

*
tất cả đạt cực trị trên M(0;0) tốt không?

Xét

*
là một trong những điểm trong cạnh bên của M(0;0). Ta có:

*

Với

*
0 , \Deltay > 0 : \Deltaf(0;0) > 0 " class="latex" />

Với

*

Vậy

*
biến hóa dấu phải hàm f không đạt rất trị tại M0.

2. Luật lệ tìm rất trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm

*
đạt cực trị (địa phương) tại
*
với nếu f có những đạo hàm riêng rẽ tại
*
thì:

*

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực to tại

*
(trường thích hợp hàm f đạt rất tiểu trên M0 trọn vẹn tương từ bỏ ).

Khi đó, xét hàm

*
ta có:
*
, với x trong một khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay:

*

Mặt khác:

*
. Vậy:
*

Tương tự, giả dụ xét hàm

*
ta sẽ có:
*

Điểm

*
nhưng tại đó
*
, được hotline là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số

*
có những đạo hàm riêng đến cấp cho 2 tiếp tục trong sát bên của điểm dừng
*

Đặt:

*

Khi đó:

a. Ví như

*
0) thì f đạt rất tiểu trên M0.

b. Nếu như

*

c. Nếu như

*
0 " class="latex" /> thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Ví như

*
ta chưa kết luận và cần phải xét nạm thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Xem thêm: Bài 1,2,3,4,5 Trang 15 Sgk Toán Lớp 5 Bài Luyện Tập Chung Trang 15 Sgk Toán 5

Ta công nhận không chứng tỏ định lý này. Việc chứng minh định lý này, nhờ vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Lúc đó, ta vẫn xét dấu đến vi phân cung cấp 2 trong khai triển Taylor. Các chúng ta có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor vào giáo trình Toán học thời thượng (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem hội chứng minh một cách dễ gọi nhất, bạn cũng có thể xem trong cuốn Giải tích toán học tập của người sáng tác Pixcunop (tập 2).