Bài viết này girbakalim.net tổng phù hợp và ra mắt lại một số trong những công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một trong những trường hợp đặc biệt hay gặp

https://www.girbakalim.net/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình diễn công thức bao quát tính thể tích cho khối tứ diện bất cứ khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ những công thức này giúp các em xử lý nhanh một vài dạng bài khó về thể tích khối tứ diện vào đề thi THPT tổ quốc 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Công thức tính nhanh thể tích

Bài viết này trích lược một trong những công thức nhanh hay cần sử dụng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ bạn đọc tham khảo khoá full bộ X vị girbakalim.net thi công tại đây:https://www.girbakalim.net/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta tất cả công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong những số đó <eginalign & M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ và N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ và P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ & Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện số đông cạnh $a,$ ta tất cả $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều phải sở hữu chiều cao bằng . Thể tích của khối tứ diện đã cho là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện phần lớn cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện đông đảo là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn câu trả lời B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc trên một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta bao gồm $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần đầy đủ (các cặp cạnh đối khớp ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta gồm $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ điện thoại tư vấn $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng biện pháp từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta bao gồm $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ bao gồm $CD=8$ với theo bí quyết đường trung con đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ do đó $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn giải đáp B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ rất có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đầy đủ có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn đáp án C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ tất cả $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=AC=BD=CD=1.$ lúc thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá chỉ trị lớn số 1 thì khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $AD$ cùng $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho hai mặt mong $(S_1),(S_2)$ gồm cùng trung khu $I$ và nửa đường kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm ở $(S_1);$ nhì đỉnh $C,D$ nằm tại $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn nhất bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo lần lượt là khoảng cách từ trung khu $I$ đến hai tuyến đường thẳng $AB,CD.$

Ta tất cả $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ và $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ cùng $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng chừng cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bởi đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn giải đáp D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ gồm thiết diện qua trục là một hình vuông vắn cạnh bằng $a.$ biết rằng $AB$ và $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhì đáy và góc giữa hai tuyến phố thẳng $AB$ với $CD$ bởi $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn giải đáp C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai phương diện kề nhau

*

Ví dụ 1: đến khối chóp $S.ABC$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc thân hai khía cạnh phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã mang lại bằng

A. $a^3.$

B. $fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải bỏ ra tiết. điện thoại tư vấn $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta có $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt không giống $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) với (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ tất cả $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải chi tiết. call $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta bao gồm $left{ egingathered CB ot tía hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tựa như $left{ egingathered CD ot domain authority hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết hòa hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ ở kề bên $SA$ vuông góc cùng với đáy với góc thân hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bởi $60^0,$ khi ấy $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt khác $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong kia $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) cùng (2) suy ra Chọn giải đáp A.

Ví dụ 4: cho tứ diện $ABCD$ bao gồm $ABC$ với $ABD$ là tam giác phần đa cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn số 1 bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bởi đạt tại $(ABC)ot (ABD).$ Chọn lời giải A.

Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.A"B"C"$ có diện tích s tam giác $A"BC$ bằng $4,$ khoảng cách từ $A$ mang đến $BC$ bằng $3,$ góc thân hai khía cạnh phẳng $left( A"BC ight)$ cùng $left( A"B"C" ight)$ bởi $30^circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A"B"C"$ bằng

A. $3sqrt3.$ B.$6.$ C.$2.$ D.$12.$

Giải. Áp dụng bí quyết tính thể tích tứ diện mang lại trường thích hợp biết góc và mặc tích của nhị mặt

$V_ABC.A"B"C"=3V_A".ABC=3left( dfrac2S_A"BC.S_ABC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)3BC ight)$

$=dfracS_A"BC.dleft( A,BC ight).BC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)BC=S_A"BC.dleft( A,BC ight).sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)=4.3.dfrac12=6.$ Chọn lời giải B.

Công thức 6:Mở rộng mang lại khối chóp có diện tích mặt mặt và phương diện đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ tất cả $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại và một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi đó $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: Con Gái Nên Học Nghề Dành Cho Phụ Nữ Hot Nhất Hiện Nay, Top Các Ngành Học Nghề Cho Nữ 2022

Tứ diện này có độ dài toàn bộ các cạnh ta tính các góc trên một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc bắt nguồn từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn đáp án B.

*