Khái niệm số phức
Số phức tất cả dạng z = a + bi, (a, b ∈ ℜ), trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo: i² = - 1
Tập hợp những số phức là C
Nếu a = 0, z = bi được gọi là số thuần ảo
Nếu b = 0 , z = a + 0i được hotline là số thực
Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo
Số đối của phức z = a + bi là -z = - a - bi
Các phép toán bên trên tập số phức
Cho hai số phức z₁ = a + bi, z₂ = c + di.
Bạn đang xem: Công thức tính nhanh số phức
Hai số phức bằng nhau:
Tổng, hiệu nhị số phức z₁ ± z₂ = (a ± b) + (b ± d)i.
Phép nhân nhì số phức z₁.z₂ = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Phép chia hai số phức
Môđun của số phức, số phức liên hợp
Phương trình bên trên tập số phức
Công thức tính cấp tốc số phức hay được sử dụng trong các đề thi
Ví dụ áp dụng
Một số bài tập có giải mã số phức
Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập thích hợp điểm trình diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn trụ có diện tích:
A. S = 9π B. S = 12π. C. S = 16π. D.S = 25π.
Hướng dẫn:
Ta có:
|w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)
Giả sử w = x + yi, khi ấy (1) (x - 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16
Suy ra tập phù hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), bán kính r = 4
Vậy diện tích cần tìm kiếm là S = π.42 = 16π
Chọn C.
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức
A.5 B.4 C.6 D.8
Hướng dẫn:
Ta có:
Khi z = i thì A = 6
Chọn C.
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1. Tìm giá trị lớn số 1 max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|
A. Max M = 5; min M = 1 B. Max M = 5; min M = 2
C. Max M = 4; min M = 1 D.max M = 4; min M = 2
Hướng dẫn:
Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,
khi z = 1 thì M = 5 nên ma M = 5
Mặt khác:
khi z = -1 thì M = 1 nên min M = 1
Chọn A.
Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Search tích của giá chỉ trị lớn số 1 và bé dại nhất của biểu thức:
Hướng dẫn:
Chọn A.
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1. Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức p. = |1 + z| + 3|1 - z|
Hướng dẫn:
Chọn D.
Câu 6. Cho số phức z vừa lòng điều khiếu nại |z2 + 4| = 2|z|. Xác định nào sau đấy là đúng?
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:
2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.
2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1
Vậy |z| nhỏ dại nhất là √5 - 1 khi z = -1 + i√5 với |z| lớn số 1 là √5 + 1 lúc z = 1 + i√5
Chọn B.
Hướng dẫn:
Gọi z1 = a + bi; z2 = a - bi.
Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0
Do |z1 - z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3
đạt giá chỉ trị to nhất. Tính tích xy.
Hướng dẫn:
Câu 9. Biết số phức z vừa lòng đồng thời hai đk |z - 3 - 4i| = √5 với biểu thức M = |z + 2|2 - |z - i|2 đạt giá trị béo nhất. Tính môđun của số phức z + i.
A. |z + i| = 2√41
B. |z + i| = 3√5
C. |z + i| = 5√2
D. |z + i| = √41
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi.
Xem thêm: Truyền Thông Số Là Gì? 5 Kênh Truyền Thông Số Phổ Biến Nhất Hiện Nay
Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5, trung khu I(3; 4) và R = √5
Mặt khác:
M = |z + 2|2 - |z - i|2 = (x + 2)2 + y2 - <(x2) + (y - 1)2> = 4x + 2y + 3
d: 4x + 4y + 3 - M = 0
Do số phức z vừa lòng đồng thời hai đk nên d và (C) gồm điểm chung
Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i gồm môđun phệ nhất. Số phức z có môđun bằng: