Sau khi đã làm cho quen với hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, thì phương trình bậc 2 một ẩn chính là nội dung tiếp theo mà các em sẽ học, đó cũng là nội dung thường có trong công tác ôn thi vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình bậc 2


Vì vậy, trong nội dung bài viết này chúng ta cùng tìm kiếm hiểu cách giải phương trình bậc 2 một ẩn, phương pháp tính nhẩm nghiệm nhanh bởi hệ thức Vi-et, mặt khác giải một vài dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn để thông qua bài tập những em sẽ nắm rõ nội dung lý thuyết.

I. Tóm tắt kim chỉ nan về Phương trình bậc 2 một ẩn

1. Phương trình bậc nhất ax + b = 0

- Nếu a ≠ 0, phương trình tất cả nghiệm nhất x=(-b/a)

- ví như a = 0, b ≠ 0, phương trình vô nghiệm

- nếu a = 0, b = 0, phương trình bao gồm vô số nghiệm

2. Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:

• Tính

*

+) Δ > 0: PT bao gồm 2 nghiệm:

*
;
*

+) Δ = 0: PT tất cả nghiệm kép:

*

+) Δ 0: PT có 2 nghiệm:

*
;
*

+) Δ" = 0: PT có nghiệm kép:

*

+) Δ" b) Định lý Vi-et:

- gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của PT bậc 2 một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a≠0):

 ; 

*

- Ta hoàn toàn có thể sử dụng định lý Vi-et nhằm tính những biểu thức của x1 , x2 theo a,b,c:

 ♦ 

 ♦ 

*

 ♦ 

*
 
*

 ♦ 

*

c) Định lý Vi-et đảo:

- giả dụ x1 + x2 = S với x1.x2 = p. Thì x1, x2 là nghiệm của phương trình: X2 - SX + p. = 0 (Điều khiếu nại S2 - 4P ≥ 0)

d) Ứng dụng của định lý Vi-et

* Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:

- giả dụ a + b + c = 0 thì: x1 = 1 và x2 = (c/a);

- trường hợp a - b + c = 0 thì: x1 = -1 và x2 = (-c/a);

* tìm 2 số khi biết tổng cùng tích

- đến 2 số x, y, biết x + y = S cùng x.y = p. Thì x, y là nghiệm của phương trình: X2 - SX + p = 0

* so sánh thành nhân tử

- nếu phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) bao gồm 2 nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = 0

* xác minh dấu của những nghiệm số

- đến phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), đưa sử PT có 2 nghiệm x1, x2 thì S = x1 + x2 = (-b/a); p. = x1x2 = (c/a)

- Nếu p

- Nếu p > 0 và Δ > 0 thì phương trình gồm 2 nghiệm thuộc dấu, khi ấy nếu S > 0 thì phương trình có 2 nghiệm dương, S

II. Một số trong những dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 một ẩn

* Phương pháp:

+ Trường đúng theo 1: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử bậc nhất:

- đưa hạng tử tự do sang vế phải

- Chia cả hai vế cho thông số bậc 2, mang lại dạng x2 = a.

+ ví như a > 0, phương trình bao gồm nghiệm x = ±√a

+ ví như a = 0, phương trình tất cả nghiệm x = 0

+ giả dụ a

+ Trường vừa lòng 2: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử dự do:

- so với vế trái thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung, đem lại phương trình tích rồi giải.

+ Trường phù hợp 3: Phương trình bậc 2 đầy đủ:

- sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức sát hoạch gọn để giải

- sử dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm so với 1 số phương trình đặc biệt.

 Ví dụ: Giải các phương trình sau:

 a) 2x2 - 4 = 0  b) x2 + 4x = 0

 c) x2 - 5x + 4 = 0

* Lời giải:

a) 2x2 - 4 = 0 ⇔ 2x2 = 4 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ±√2.

⇒ Kết luận: Phương trình bao gồm nghiệm x=±√2.

b) x2 + 4x = 0 ⇔ x(x+4) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x + 4 =0

 ⇔ x = 0 hoặc x = -4

⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=0 cùng x=-4.

c) x2 - 5x + 4 = 0

* biện pháp giải 1: thực hiện công thức nghiệm

 

*

 

*

 ⇒ PT gồm 2 nghiệm phân biệt:  

*
 ;
*

 ⇒ Kết luận: Phương trình tất cả nghiệm x=1 với x=4.

* cách giải 2: nhẩm nghiệm

- PT vẫn cho: x2 - 5x + 4 = 0 có các hệ số a=1; b=-5; c=4 cùng ta thấy: a + b + c = 1 - 5 + 4 = 0 nên theo áp dụng của định lý Vi-ét, ta tất cả x1 = 1; x2 = c/a = 4/1 = 4

 ⇒ Kết luận: Phương trình tất cả nghiệm x=1 cùng x=4.

* Một số xem xét khi giải phương trình bậc 2:

♦ Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì mang lại dạng tổng quát giải bình thường, không cần giải theo công thức, ví dụ: x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1)2 = 0 ⇔ x = 1.

♦ Phải sắp xếp lại đúng trang bị tự các hạng tử nhằm lập thành phương trình ax2 + bx + c = 0 rồi mới vận dụng công thức, ví dụ: x(x - 5) = 6 ⇔ x2 - 5x = 6 ⇔ x2 - 5x - 6 = 0 ⇔ áp dụng công thức giải tiếp,...

♦ không phải lúc như thế nào x cũng là ẩn số mà hoàn toàn có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t xuất xắc ẩn a, ẩn b,... Tùy vào phương pháp ta chọnbiến, ví dụ: a2 - 3a + 2 = 0; t2 - 6t + 5 = 0.

Dạng 2: Phương trình đem đến phương trình bậc 2 bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a) Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0)

* Phương pháp:

 - Đặt t = x2 (t≥0), chuyển PT về dạng: at2 + bt + c = 0

 - Giải PT bậc 2 theo t, đánh giá nghiệm t tất cả thoả điều kiện hay không, trường hợp có, quay trở lại phương trình x2 = t nhằm tìm nghiệm x.

b) Phương trình chứa ẩn sinh sống mẫu:

* Phương pháp:

- search điều kiện xác minh của phương trình

- Quy đồng mẫu mã thức 2 vế rồi khử mẫu

- Giải phương trình vừa dấn được

- bình chọn điều kiện các giá trị tìm được, loại những giá trị không thoả nguyện điều kiện, các giá trị thoả điều kiện khẳng định là nghiệm của phương trình đã cho.

 Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) x4 - 3x2 + 2 = 0

b) 

*

* Lời giải:

a) x4 - 3x2 + 2 = 0 (*)

- Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta bao gồm (*) ⇔ t2 - 3t + 2 = 0

- Ta thấy a + b + c = 0 ⇒ t = 1 hoặc t = 2 (đều thoả ĐK t ≥ 0)

- cùng với t = 1: x2 = 1 ⇒ x = ±1

- cùng với t = 2: x2 = 2 ⇒ x = ±√2

⇒ Kết luận: Phương tình có nghiệm (-√2; -1; 1; √2)

b) 

*
 (*)

 ĐK: x ≠ 3; x ≠ 2

 - Quy đồng khử mẫu, PT (*) ta được:

 (x+2)(2-x) - 9(x-3)(2-x) = 6(x-3)

⇔ 4 - x2 - 9(-x2 + 5x - 6) = 6x - 18

⇔ 4 - x2 + 9x2 -45x + 54 - 6x + 18 = 0

⇔ 8x2 - 51x + 76 = 0

*
*

*
 ;

*

- cả hai nghiệm trên đa số thoả ĐK x ≠ 3; x ≠ 2; 

⇒ PT tất cả nghiệm: x1 = 19/8 với x2 = 4;

Dạng 3: Giải biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 bao gồm tham số

* Phương pháp:

 - áp dụng công thức nghiệm, hoặc công thức sát hoạch gọn nhằm giải,

 - Tính 

*
 theo tham số:

+ Nếu Δ > 0: phương trình bao gồm 2 nghiệm phân biệt

+ Nếu Δ = 0: phương trình tất cả nghiệm kép

+ Nếu Δ

 Ví dụ: Giải biện luận theo m, phương trình: mx2 - 5x - m - 5 = 0 (*)

* Lời giải:

- Trường phù hợp m = 0 thì (*) trở thành: -5x - 5 = 0 ⇒ x = -1

- Trường hợp m ≠ 0, ta có:

*

= 25 + 4m(m+5) = 25 + 4m2 + 20m = (2m+5)2

- Ta thấy: Δ = (2m+5)2 ≥ 0, ∀ m nên PT(*) sẽ luôn có nghiệm

+ Nếu Δ = 0 ⇒ m =-5/2 thì PT (*) bao gồm nghiệp duy nhất: 

*

+ Nếu Δ = 0 ⇒ m -5/2 thì PT (*) gồm 2 nghiệm phân biệt:

*

Dạng 4: khẳng định tham số m nhằm phương trình bậc 2 thoả mãn điều kiện nghiệm số

* Phương pháp

- Giải phương trình bậc 2, kiếm tìm x1; x2 (nếu có)

- Với điều kiện về nghiệm số của đề bài giải kiếm tìm m

- Bảng xét lốt nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:

*

* lưu giữ ý: Nếu bài toán yêu mong phương trình tất cả 2 nghiệm rõ ràng thì ta xét Δ > 0 ; còn nếu đề bài chỉ nói phổ biến chung phương trình có 2 nghiệm thì ta xét Δ ≥ 0.

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) có:

 1. Bao gồm nghiệm (có nhị nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

 2. Vô nghiệm ⇔ Δ

 3. Nghiệm độc nhất vô nhị (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0

 4. Bao gồm hai nghiệm biệt lập (khác nhau) ⇔ Δ > 0

 5. Nhị nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và p. > 0

 6. Hai nghiệm trái vết ⇔ Δ > 0 và phường

 7. Nhị nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và phường > 0

 8. Nhị nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S 0

 9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0

 10.Hai nghiệm nghịch hòn đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và p = 1

 11. Nhị nghiệm trái dấu và nghiệm âm có mức giá trị tuyệt vời nhất lớn rộng ⇔ a.c

 12. Nhì nghiệm trái dấu và nghiệm dương có mức giá trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất lớn hơn ⇔ a.c 0

 Ví dụ: cho phương trình bậc 2 ẩn x tham số m: x2 + mx + m + 3 = 0 (*)

a) Giải phương trình cùng với m = -2.

b) kiếm tìm m nhằm phương trình tất cả 2 nghiệm x1 , x2 thoả x12 + x22 = 9

c) search m để phương trình gồm 2 nghiệm x1 , x2 thoả 2x1 + 3x2 = 5

* Lời giải:

a) cùng với m = -2 thì (*) ⇔ x2 - 2x + 1 = 0

- Ta thấy, a + b + c = 0 bắt buộc theo Vi-et PT có nghiệm: x1 = 1; x2 = c/a = 1; 

- Hoặc: x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1)2 = 0 nên có nghiệp kép: x = 1

b) Để PT: x2 + mx + m + 3 = 0 tất cả 2 nghiệm thì:

 

*

- khi ấy theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = -m cùng x1x2 = m+3

 Mà x12 + x22 = x12 + 2x1x2 + x22 - 2x1x2

= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (-m)2 - 2(m+3) = mét vuông - 2m - 6

- vày đó, để: x12 + x22 = 9 ⇔ m2 - 2m - 6 = 9 ⇔ m2 - 2m - 15 = 0

 Ta tính Δ"m = (-1)2 - 1(-15) = 16 ⇒ 

*

 ⇒ PT bao gồm 2 nghiệm m1 = (1+4)/1 = 5 và mét vuông = (1-4)/1 = -3

- demo lại ĐK của m để Δ ≥ 0:

_ với m = 5 ⇒ Δ = 25 - 32 = -7

_ cùng với m = -3 ⇒ Δ = 9 > 0 (thoả ĐK)

⇒ Vậy với m = -3 thì PT (*) bao gồm 2 nghiệm thoả x12 + x22 = 9

c) Theo câu b) PT gồm 2 nghiệm x1 , x2 ⇔ Δ ≥ 0

Theo Vi-et ta có: 

*

- Theo yêu cầu việc ta đề nghị tìm m sao cho: 2x1 + 3x2 = 5, ta sẽ tìm x1 cùng x2 theo m

- Ta giải hệ:

*
*

- Lại có x1x2 = m + 3 ⇒ (-3m-5)(2m+5) = m+3

 ⇔ -6m2 - 25m - 25 = m + 3

 ⇔ 6m2 + 26m + 28 = 0

 ⇔ 3m2 + 13m + 14 = 0

 Tính Δm = 132 - 4.3.14 = 1 > 0.

 ⇒ PT gồm 2 nghiệm phân biệt: m1 = -7/3; m2 = -2

- test lại điều kiện: Δ ≥ 0;

_ với m = -7/3; Δ = 25/9 > 0 (thoả)

_ với m = -2; Δ = 0 (thoả)

⇒ Kết luận: cùng với m=-2 hoặc m=-7/3 thì PT tất cả 2 nghiệm thoả 2x1 + 3x2 = 5.

Dạng 5: Giải bài bác toán bằng phương pháp lập phương trình

* Phương pháp: Vận dụng hoạt bát theo yêu thương cầu câu hỏi để lập phương trình cùng giải

 Ví dụ: trong lúc học team Hùng yêu cầu chúng ta Minh và bạn Lan từng người lựa chọn 1 số, làm sao để cho 2 số này hơn nhát nhau là 5 với tích của bọn chúng phải bởi 150, vậy 2 chúng ta Minh cùng Lan buộc phải chọn nhưng số nào?

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn số chúng ta Minh chọn là x, thì số các bạn Lan lựa chọn sẽ là x + 5

- Theo bài ra, tích của 2 số này là 150 bắt buộc ta có: x(x+5) = 150

 ⇔ x2 + 5x - 150 = 0

 

*

- Phương trình bao gồm nghiệm x1 = 10; x2 = -15

- Vậy gồm 2 cặp số thỏa là: (10; 15) cùng (-15; -10)

III. Bài tập Phương trình bậc 2 một ẩn

Bài 12 trang 42 sgk toán 9 tập 2: Giải những phương trình sau: 

a) x2 - 8 = 0 b) 5x2 - đôi mươi = 0 c) 0,4x2 + 1 = 0

d) 2x2 + x√2 = 0 e) -0,4x2 + 1,2x = 0

* Lời giải Bài 12 trang 42 sgk toán 9 tập 2:

a) x2 - 8 = 0 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ±2√2

b) 5x2 - đôi mươi = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2

c) 0,4x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = -2,5 ⇔ PT vô nghiệm

d) 2x2 + x√2 = 0 ⇔ x√2.(x√2 +1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1/√2

e) -0,4x2 + 1,2x = 0 ⇔ 0,4x(-x+3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2: Dùng công thức nghiệm giải những phương trình sau

a) 2x2 - 7x + 3 = 0 b) 6x2 + x + 5 = 0

c) 6x2 + x - 5 = 0 d) 3x2 + 5x + 2 = 0

e) y2 - 8y + 16 =0 f) 16z2 + 24z + 9 = 0

* Lời giải Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2:

a) 2x2 - 7x + 3 = 0

 

*

- Phương trình gồm 2 nghiệm phân biệt:

 

*
 ;
*

b) PT vô nghiệm

c) x1 = -1; x2 = 5/6

d) x1 = -1; x2 = -2/3

e) nghiệm kép: y = 4

f) nghiệm kép: z = -3/4

III. Luyện tập các dạng bài tập phương trình bậc nhì một ẩn

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách thức tính nhẩm nghiệm

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

f) 

*

Bài 3: hotline x1 cùng x2 là nghiệm của phương trình x2 - 3x - 7 = 0. Không giải phương trình tính giá chỉ trị của những biểu thức sau:

1) 

*

2) 

*

3) 

*

4) 

*

5) 

*

Bài 4: Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0. Ko giải phương trình tính giá bán trị của các biểu thức sau:

1) 

*

2) 

*

Bài 5: Cho phương trình (2m-1)x2 - 2mx + 1 = 0. Khẳng định m nhằm phương trình trên gồm nghiệm thuộc khoảng (-1;0)

Bài 6: Cho phương trình tất cả ẩn x: x2 - mx + m - 1 = 0 (m là tham số).

1) CMR luôn luôn có nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m

2) Đặt 

*

 a) triệu chứng minh: A = mét vuông - 8m + 8

 b) tìm m làm sao để cho A = 8.

 c) Tính giá bán trị nhỏ dại nhất của A với của m tương ứng

 d) tra cứu m sao cho x1 = 3x2.

Xem thêm: Bảng Vần Trong Tiếng Việt Lớp 1 Theo Chương Trình Công Nghệ Giáo Dục

Hy vọng với bài viết hướng dẫn phương pháp giải phương trình bậc 2 một ẩn và những dạng toán cùng phương pháp tính nhẩm nghiệm làm việc trên hữu ích cho những em. Phần lớn góp ý cùng thắc mắc những em phấn kích để lại lời nhắn bên dưới phần comment để girbakalim.net ghi nhận với hỗ trợ, chúc những em học hành tốt.