1. Một trong những công thức đạo hàm cao cấp của hàm số thường gặp
$eginarrayl y = sin (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^nsin left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = cos (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^ncos left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = frac1ax + b Rightarrow y^(n)(x) = frac( - 1)^na^n.n!(ax + b)^n + 1\ y = e^ax + b Rightarrow y^(n)(x) = a^ne^ax + b.\ y = (ax + b)^alpha Rightarrow y^(n)(x) = a^nalpha (alpha - 1)...(alpha - n + 1)(ax + b)^alpha - n endarray$
2. Cách làm Lepnit tính đạo hàm cấp cao của hàm số tích
Cho các hàm số $y=u(x),y=v(x)$ gồm đạo hàm đến cung cấp $n$ lúc ấy $left< u(x).v(x) ight>^(n)=sumlimits_k=0^nC_n^ku^(k)(x)v^(n-k)(x).$
3. Các ví dụ minh hoạ
Câu 1. Tính đạo hàm $f^(50)(x)$ với $f(x)=(2x^2+x+1)e^5x+2.$
Giải. Ta có:
$eginarrayc f^(50)(x) = sumlimits_k = 0^50 C_50^k(2x^2 + x + 1)^(k)(e^5x + 2)^(50 - k) .\ = 5^50(2x^2 + x + 1)e^5x + 2 + 50(4x + 1)5^49e^5x + 2 + 1225.4.5^48e^5x + 2. endarray$
Câu 2. Cho hàm số $f(x)=dfrac1+xsqrt1-x.$ Tính $f^(100)(0).$
Giải. Ta có
$eginarrayl f(x) = dfrac1 + xsqrt 1 - x = dfrac2 - (1 - x)sqrt 1 - x = 2(1 - x)^ - dfrac12 - (1 - x)^dfrac12.\ f^(100)(x) = 2left< ( - 1)^100left( - dfrac12 ight)left( - dfrac12 - 1 ight)...left( - dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^ - dfrac12 - 100 ight>\ - left< ( - 1)^100left( dfrac12 ight)left( dfrac12 - 1 ight)...left( dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^dfrac12 - 100 ight>\ = dfrac3.5...1992^99(1 - x)^ - dfrac2012 + dfrac3.5....1972^100(1 - x)^dfrac1972. endarray$
Do kia $f^(100)(0)=dfrac3.5...1972^100(199.2+1)=399dfrac(197)!!2^100,$ trong những số đó $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$
Câu 3. Tính $f^(100)(x)$ biết $f(x)=x^2cos x.$
Giải. Ta có:
$eginarrayc f^(100)(x) = sumlimits_k = 0^100 C_100^k(x^2)^(k)(cos x)^(100 - k) \ = x^2cos left( x + frac100pi 2 ight) + 100.2x.cos left( x + frac99pi 2 ight) + 4950.2.cos left( x + frac98pi 2 ight)\ = x^2cos x + 200xsin x - 9900cos x. endarray$
Câu 4.
Bạn đang xem: Công thức lepnit
Tính đạo hàm v.i.p $y^(5)(x)$ của hàm số $y=ln (2x^2-x).$
Giải. Ta có: $y"=dfrac4x-12x^2-x=dfrac4x-1x(2x-1)=dfrac42x-1-dfrac1x(2x-1)=dfrac42x-1-left( dfrac22x-1-dfrac1x ight)=dfrac22x-1+dfrac1x.$
Vậy $y^(5)(x)=left( dfrac22x-1+dfrac1x ight)^(4)=2dfrac2^4(-1)^44!(2x-1)^5+dfrac(-1)^44!x^5=24left( dfrac32(2x-1)^5+dfrac1x^5 ight).$
Câu 5. Tính đạo hàm cấp cao $f^(100)(0)$ của hàm số $f(x)=dfrac1x^2-x+1.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl f(x) = frac1left( x - frac12 ight)^2 + frac34 = frac1left( x - frac12 ight)^2 - left( fracsqrt 3 2i ight)^2 = frac1sqrt 3 ileft( frac1x - frac12 - fracsqrt 3 2i - frac1x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight).\ f^(100)(x) = frac1sqrt 3 ileft( frac( - 1)^100100!left( x - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac( - 1)^100100!left( x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight)\ f^(100)(0) = frac100!sqrt 3 ileft( frac1left( - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac1left( - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight) = frac100!sqrt 3 i( - sqrt 3 i) = - 100! endarray$
Bước cuối độc giả thay dạng lượng giác số phức vào nhằm rút gọn.
Cách 2:Ta tất cả $(x^2-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp cho n nhị vế có:
$eginarrayl (x^2 - x + 1)y^(n)(x) + n(2x - 1)y^(n - 1)(x) + n(n - 1)y^(n - 2)(x) = 0\ y^(n)(0) - ny^(n - 1)(0) + n(n - 1)y^(n - 2)(0) = 0 Leftrightarrow fracy^(n)(0)n! - fracy^(n - 1)(0)(n - 1)! + fracy^(n - 2)(0)(n - 2)! = 0\ u_n = fracy^(n)(0)n! Rightarrow u_n - u_n - 1 + u_n - 2 = 0.... endarray$
Câu 6. Tính đạo hàm v.i.p $y^(99)(0)$ của hàm số $y=arcsin x.$
Giải. Ta có:
$eginarrayl y" = frac1sqrt 1 - x^2 Rightarrow (1 - x^2)y" = sqrt 1 - x^2 \ Rightarrow - 2xy" + (1 - x^2)y"" = - fracxsqrt 1 - x^2 = - xy"\ Leftrightarrow (1 - x^2)y"" - xy" = 0. endarray$
Do đó $left( (1-x^2)y""-xy" ight)^(n)=0$ và
$eginarrayl (1 - x^2)y^(n + 2)(x) - n.2x.y^(n + 1)(x) - n(n - 1)y^(n)(x) - xy^(n + 1)(x) - ny^(n)(x) = 0.\ Rightarrow y^(n + 2)(0) = n^2y^(n)(0) Rightarrow y^(99)(0) = 97^2y^(97)(0) = ... = (97.95...3.1)^2y"(0) = (97!!)^2. endarray$
Hiện trên girbakalim.net desgin 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành kinh tế tài chính của tất cả các trường:
Khoá học cung cấp đầy đủ kỹ năng và kiến thức và cách thức giải bài tập những dạng toán đi kèm theo mỗi bài học. Khối hệ thống bài tập tập luyện dạng từ bỏ luận bao gồm lời giải cụ thể tại website sẽ giúp đỡ học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Phương châm của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì những học phần Toán thời thượng 1 cùng Toán cao cấp 2 trong số trường khiếp tế.
Xem thêm: Trường Cao Đẳng Sư Phạm Trung Ương Tphcm Tuyển Sinh 2021, Cao Đẳng Sư Phạm Trung Ương Tp
Sinh viên các trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được combo này:
- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân
- ĐH ngoại Thương
- ĐH yêu mến Mại
- học viện Tài Chính
- học viện ngân hàng
- ĐH kinh tế ĐH đất nước Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH không giống trên khắp cả nước...