Cách nhân đơn thức với đa thức

Lớp 1

Đề thi lớp 1

Lớp 2

Lớp 2 - liên kết tri thức

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Lớp 2 - Cánh diều

Tài liệu tham khảo

Lớp 3

Lớp 3 - liên kết tri thức

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Lớp 3 - Cánh diều

Tài liệu tham khảo

Lớp 4

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Lớp 5

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Lớp 6

Lớp 6 - liên kết tri thức

Lớp 6 - Chân trời sáng tạo

Lớp 6 - Cánh diều

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Chuyên đề và Trắc nghiệm

Lớp 7

Lớp 7 - liên kết tri thức

Lớp 7 - Chân trời sáng tạo

Lớp 7 - Cánh diều

Sách/Vở bài xích tập

Đề thi

Chuyên đề và Trắc nghiệm

Lớp 8

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Chuyên đề và Trắc nghiệm

Lớp 9

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài xích tập

Đề thi

Chuyên đề và Trắc nghiệm

Lớp 10

Lớp 10 - liên kết tri thức

Lớp 10 - Chân trời sáng tạo

Lớp 10 - Cánh diều

Sách/Vở bài bác tập

Đề thi

Chuyên đề & Trắc nghiệm

Lớp 11

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài xích tập

Đề thi

Chuyên đề & Trắc nghiệm

Lớp 12

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Chuyên đề & Trắc nghiệm

IT

Ngữ pháp tiếng Anh

Lập trình Java

Phát triển web

Lập trình C, C++, Python

Cơ sở dữ liệu

Lý thuyết, những dạng bài tập Toán 8Toán 8 Tập 1I. Triết lý & trắc nghiệm theo bàiII. Các dạng bài bác tậpI. Lý thuyết & trắc nghiệm theo bàiII. Các dạng bài xích tậpToán 8 Tập 1I. Kim chỉ nan & trắc nghiệm theo bài xích họcII. Những dạng bài bác tập

Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với nhiều thức

Với phương thức nhân solo thức với nhiều thức, đa thức với đa thức môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết phương pháp làm những dạng bài bác tập tự đó bài bản ôn tập kết quả để đạt tác dụng cao trong số bài thi môn Toán 8.

Bạn đang xem: Cách nhân đơn thức với đa thức

A. Biện pháp nhân đối kháng thức với nhiều thức

I. Quy tắc:

Muốn nhân một 1-1 thức với một nhiều thức, ta nhân solo thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng những tích của chúng lại cùng với nhau. 

Với mọi x,y ≠ 0; m,n ∈ N, m ≥ n thì: 

Xm.Xn = Xm+n

Xm.Ym= (XY)m 

II. Những dạng bài

Dạng 1: Rút gọn biểu thức thực hiện phép nhân nhiều thức với đơn thức

1. Cách thức giải: 

- áp dụng quy tắc nhân đa thức với 1-1 thức để phá ngoặc và kết hợp với các phép toán liên quan đến lũy thừa để rút gọn biểu thức 

2. Lấy một ví dụ minh họa

Ví dụ 1: làm tính nhân: 

a, 2x2.(3x3 + 2x)

= 2x2.3x3 + 2x2.2x 

= 6x5 + 4x3

b, 3x.(x2 + 2x + 2) 

= 3x.x2 + 3x.2x + 3x.2 

= 3x3 + 6x2 + 6x 

c,

x3.(3x4 + 2x2 + 1) 

Ví dụ 2: Rút gọn gàng biểu thức:

a, M = 2x2 (x3 - x2 + 1) + 4x(x4 - 2x3 + 1) 

= 2x2.x3 - 2x2.x2 + 2x2.1 + 4x.x4 - 4x.2x3 + 4x

= 2x5 - 2x4 + 2x2 + 4x5 - 8x4 + 4x 

= (2x5 + 4x5) - (2x4 + 8x4) + 2x2 + 4x

= 6x5 - 10x4 + 2x2 + 4x 

b, N = x3 (1 + 2x2 - 4x) + 3x4(3 - x)

= x3.1 + x3.2x2 - x3.4x + 3x4.3 - 3x4.x 

= x3 + 2x5 - 4x4 + 9x4 - 3x5 

= (2x5 - 3x5) + (9x4 - 4x4) + x3 

= -x5 + 5x4 + x3 

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức mang lại trước. 

1. Phương pháp giải: 

Sử dụng phép tắc nhân đa thức với đối kháng thức nhằm rút gọn gàng biểu thức đã cho tiếp đến thay các giá trị của biến đổi vào biểu thức đã rút gọn. 

2. Ví dụ như minh họa

Ví dụ 2: thực hiện phép tính rồi tính quý hiếm biểu thức:

a, A = 3x.(2x2 - 1) trên x = 1

Ta có: 

A = 3x.(2x2 - 1) 

= 3x.2x2 - 3x.1

= 6x3 - 3x 

Tại x = 1 thế vào biểu thức A ta được: 

A = 6.13 - 3.1 = 6 – 3 =3

b, B = 4x2.(x2 + 4x + 2) trên x =

 

Ta có: 

B = 4x2.(x2 + 4x + 2) 

= 4x2.x2 + 4x2.4x + 4x2.2 

= 4x4 + 16x3 + 8x2

Tại x =

 thay vào B ta được:

c, C = 2x.(3x2 - 5) tại x = 4

Ta có: 

C = 2x.(3x2 - 5) 

= 2x.3x2 - 2x.5

= 6x3 - 10x 

Tại x = 4 nuốm vào C ta được: 

C = 6.43 - 10.4 

= 384 – 40 

= 344. 

Dạng 3: minh chứng rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào quý giá của biến

1. Cách thức giải: 

Sử dụng luật lệ nhân đa thức với đơn thức nhằm rút gọn biểu thức và công dụng thu được sau thời điểm rút gọn không thể chứa biến

2. Lấy một ví dụ minh họa: 

Chứng tỏ rằng giá trị của những biểu thức sau không dựa vào vào cực hiếm của trở nên x, biết: 

a, A = 3x.

+ (3x)2(x3 - 1) + (-2x + 9).x2 - 12

b, B = x.(2x3 + x + 2) - 2x2(x2 + 1) + x2 - 2x + 1 

c, C = x.(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 3 

Lời giải:

a, A = 3x.

+ (3x)2(x3 - 1) + (-2x + 9).x2 - 12 

= 2x3 - 9x5 + 9x2(x3 - 1) - 2x3 + 9x2 - 12

= 2x3 - 9x5 + 9x5 - 9x2 - 2x3 + 9x2 - 12 

= (2x3 - 2x3) + (9x5 - 9x5) + (9x2 - 9x2) - 12 

= -12

Vậy quý hiếm của biểu thức A không dựa vào vào quý hiếm của trở nên x

b, B = x.(2x3 + x + 2) - 2x2(x2 + 1) + x2 - 2x + 1 

= x.2x3 + x.x + x.2 - 2x2.x2 - 2x2.1 + x2 - 2x + 1

= (2x4 + x2 + 2x) - (2x4 + 2x2) + x2 - 2x + 1

= 2x4 + x2 + 2x - 2x4 - 2x2 + x2 - 2x + 1

= (2x4 - 2x4) + (x2 - 2x2 + x2) + (2x - 2x) + 1 

= 1 

Vậy quý giá của biểu thức B không nhờ vào vào cực hiếm của trở thành x

c, C = x.(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 3

= x.2x + x.1 - x2.x - x2.2 + x2 - x + 3

= (2x2 + x) - (x3 + 2x2) + x3 - x + 3

= 2x2 + x - x3 - 2x2 + x3 - x + 3

= (2x2 - 2x2) + (x3 - x3) + (x - x) + 3 

= 3 

Vậy giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị của phát triển thành x

Dạng 4: tra cứu x thỏa mãn nhu cầu điều kiện đến trước:

a. Cách thức giải: 

- B1: áp dụng quy tắc nhân đối kháng thức với đa thức nhằm phá ngoặc

- B2: Nhóm những đơn thức đồng dạng với nhau lại với rút gọn gàng biểu thức ở hai vế nhằm tìm x.

b. Ví dụ minh họa: 

Tìm x, biết: 

a, 2.(5x – 8) – 3.(4x – 5) = 4.(3x – 4)+11

 ⇔ 2.5x – 2.8 – 3.4x + 3.5 = 4.3x – 16 +11

 ⇔ 10x – 16 – 12x + 15 = 12x – 5

⇔ -2x – 1 = 12x – 5 

⇔ -2x – 12x = 1 – 5 

⇔ -14x = - 4

⇔

Vậy

b, 2x(6x - 2x2) + 3x2(x - 4) = 8

⇔ 2x.6x - 2x.2x2 + 3x2.x - 3x2.4 = 8

⇔ 12x2 - 4x3 + 3x3 - 12x2 = 8

⇔ (12x2 - 12x2) + (3x3 - 4x3) = 8

⇔ -x3 = 8

⇔ x3 = -8

⇔ x =-2

Vậy x = -2

B. Biện pháp nhân nhiều thức với đa thức: 

I. Quy tắc: 

Muốn nhân một đa thức cùng với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của nhiều thức này cùng với từng hạng tử của đa thức kia rồi cùng tích cùng với nhau

Ta có: 

(A + B).(C + D) 

= A.(C + D) + B.(C + D) 

= A.C + A.D + B.C + B.D

II. Các dạng bài:

Dạng 1: Rút gọn gàng biểu thức

1. Cách thức giải: 

Sử dung luật lệ nhân nhiều thức với đa thức. 

2. Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: tiến hành phép tính: 

a, (2x + 1).(3x – 2) 

= 2x.(3x – 2) + 1.(3x – 2)

= 2x.3x – 2x.2 + 1.3x – 1.2 

= 6x2 - 4x + 3x – 2 

= 6x2 - x – 2 

b, (x2 + x + 1).(x - 2) 

= x2.(x – 2) + x.(x – 2) + 1.(x – 2)

= x3 - 2x2 + x2 - 2x + x – 2 

= x3 + (-2x2 + x2) + ( -2x + x) - 2

= x3 - x2 - x - 2 

c, x.(xy – 1)(xy + 1)

= ( x2y - x ).(xy + 1) 

= x2y(xy + 1) - x(xy + 1)

= x3y2 + x2y - x2y - x

= x3y2 - x 

Dạng 2: minh chứng rằng quý giá của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

1. Phương thức giải: 

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức nhằm rút gọn biểu thức và kết quả thu được sau khi rút gọn không hề chứa biến. 

2. Lấy ví dụ như minh họa: 

Chứng minh rằng quý hiếm của biểu thức sau không nhờ vào vào quý hiếm của biến x, biết: 

a, p = (x + 2).(x – 3) – x(x – 6) + 7

Ta có:

P = (x + 2).(x – 3) – x(x – 1) + 7

= x(x – 3) + 2.(x – 3) - x2 + x + 7

= x2 - 3x + 2x – 6 - x2 + x + 7

= x2 - x – 6 - x2 + x + 7

= (x2 - x2) + (x – x) + (7 – 6)

= 1

Vậy giá trị của biểu thức p. Không nhờ vào vào quý giá của biến x

b, Q = (x + 2).(3x – 1) – x(3x + 3) – 2x + 7

Ta có: 

Q = (x + 2).(3x – 1) – x(3x + 3) – 2x + 7

= x.(3x – 1) + 2.(3x – 1) – x.(3x + 3) – 2x + 7

= 3x2 - x + 6x – 2 - 3x2 - 3x – 2x + 7

= (3x2 - 3x2) + (6x – x – 3x – 2x) + (7 – 2)

= 5 

Vậy quý hiếm của biểu thức Q không dựa vào vào quý giá của biến x

c, T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1

Ta có:

T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1

= 2x.(2x + 3) – 3.(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1

= 4x2 + 6x – 6x – 9 – 3x - 4x2 + 3x + 1 

= (4x2 - 4x2) + (6x – 6x – 3x + 3x) + (1 – 9)

= -8 

Vậy cực hiếm của biểu thức T không phụ thuộc vào vào giá trị của biến chuyển x

Dạng 3: kiếm tìm x thỏa mãn nhu cầu điều kiện mang lại trước:

a. Cách thức giải:

- B1: thực hiện quy tắc nhân nhiều thức với đa thức nhằm phá ngoặc

- B2: Nhóm các đơn thức đồng dạng cùng nhau lại với rút gọn biểu thức ở nhị vế nhằm tìm x.

b. Lấy ví dụ minh họa: 

a, (x - 2)(x + 3) - (x - 3)(x - 5) = 0

⇔ x(x + 3) - 2(x + 3) - x(x + 5) + 3(x + 5) = 0

⇔ x.x + x.3 - 2.x - 2.3 - x.x - x.5 + 3.x + 3.5 = 0

 ⇔ x2 + 3x - 2x - 6 - x2 - 5x + 3x + 15 = 0

⇔ (x2 - x2) + (3x - 2x - 5x + 3x) + (15 - 6)

⇔ -x + 9 = 0

⇔ x= - 9

Vậy x = -9

b, (3x + 2)(x + 4) – (3x – 1)(x – 5) = 0

⇔ 3x.(x + 4) + 2(x + 4) – 3x(x – 5) + 1(x – 5) = 0

⇔ 3x.x + 3x.4 + 2.x + 2.4 – 3x.x + 3x.5 + x – 5 = 0

⇔ 3x2 + 12x + 2x + 8 - 3x2 + 15x + x – 5 = 0

⇔ (3x2 - 3x2) + (12x + 2x + 15x + x) + (8 – 5) = 0

⇔ 30x + 3 = 0

⇔ 30x = -3 

⇔ x =

 

Vậy x =

 

Dạng 4: chứng tỏ đẳng thức bằng nhau:

a. Cách thức giải: 

Ta chọn một trong nhì vế của biểu thức để thực hiện phép nhân nhiều thức với đa thức, tiếp nối rút gọn đa thức tích nhằm thu được tác dụng như vế còn lại. 

b. Ví dụ minh họa: 

Chứng minh

a, (x – y – z)2 = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx 

b, (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz - 2zx

Lời giải 

a, Xét VT = (x – y – z)2 

= (x – y – z).(x – y – z)

= x(x – y – z) – y(x – y – z) –z(x – y – z)

= x2 - xy – xz – yx + y2 + yz – zx + zy + z2 

= (x2 + y2 + z2) – (xy +yx) – (xz + zx) + (yz + zy)

= (x2 + y2 + z2) – 2xy – 2xz + 2yz

= (x2 + y2 + z2) – 2xy + 2yz – 2xz = VP (đpcm)

Vậy (x – y – z)2 = x2 + y2 + z2 - 2xy + 2yz - 2zx 

b, Xét VT = (x + y – z)2

= (x + y – z).(x + y – z)

= x(x – y – z) + y(x – y – z) –z(x – y – z)

= x2 + xy – xz + yx - y2 - yz – zx + zy + z2 

= (x2 - y2 + z2) + (xy + yx) – (xz + zx) - (yz - zy)

= (x2 - y2 + z2) + 2xy – 2xz - 2yz

= (x2 + y2 + z2) + 2xy - 2yz – 2xz = VP (đpcm)

Vậy (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy - 2yz - 2zx 

C. Bài bác tập tự luyện

Bài 1: thực hiện phép tính:

a, -2xy2.(x3y - 2x2y2 + 5xy3) 

b, (-2x).(x3 - 3x2 - x + 1) 

c, 3x2(2x3 - x + 5) 

d,

 

Hướng dẫn giải: 

a, -2x4y3 + 4x3y4 - 10x2y5 

b, -2x4 + 6x3 + 2x2 - 2x

c, 6x5 - 3x3 + 15x2 

d,

Bài 2: triển khai phép tính: 

a, (3x2y - 6xy + 9x).

 

b, (4xy + 3y - 5x).x2y 

c, 3x2.(2y - 1) - <2x2.(5y - 3) - 2x(x - 1)> 

d, 25x - 4(3x - 1) + 7x(5 - 2x2)

Hướng dẫn giải:

a, -4x3y2 + 8x2y2 - 12x2y 

b, 4x3y2 + 3x2y2 - 5x3y

c, -4x2y + 5x2 - 2x 

d, -14x3 + 48x + 1

Bài 3: triển khai phép tính rồi tính giá trị của những biểu thức sau, biết: 

a) A = 7x(x - 5) + 3(x - 2) với x = 0

b) B = 4x(2x - 3) - 5x(x - 2) với x = 2 .

c) C = a2(a + b) - b(a2 - b2) + 2013, cùng với a = 1, b = -1 

d) D = m(m - n + 1) - n(n +1 - m), cùng với

 

Hướng dẫn giải:

a, A = -6

b, B = 8

c, C = 2013

d, D = 0

Bài 4: minh chứng rằng các biểu thức sau không nhờ vào vào giá trị của trở thành x, biết: 

a) A = x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 -x + 3) 

b) B = x(x3 + 2x2 - 3x + 2) - (x2 + 2x)x2 + 3x(x - 1) + x - 12 

c) C = 3xy2(4x2 - 2y) - 6y(2x3y + 1) + 6(xy3 + y - 3)

d) D = 3x(x - 5y) + (y - 5x)(-3y) - 1 - 3(x2 - y2) 

Hướng dẫn giải: 

a, A = 3

b, B = -12 

c, C = -18 

d, D = - 1

Bài 5: kiếm tìm x, biết: 

a, x(x2 + 2) + 2x

 = 4

b, (2x)2(x - 1) + x(x2 + 4x) = 40 

c, 3x(x – 2) – 3(x2 - 3) = 8 

Hướng dẫn giải: 

a, x = 1

b, x = 2

c, x =

 

Bài 6: tiến hành phép tính: 

a, (x + 3)(x – 4)

b, (x – 4)(x2 + 4x + 16 )

c, (xy2 - 1)(x2y + 5) 

d, 4.

(4x2 + 1)

Hướng dẫn giải: 

a, x2 - x - 12 

b, x3 - 64 

c, x3y2 - 5xy2 - x2y - 5 

d, 16x4 - 1 

Bài 7: Rút gọn gàng rồi tính giá chỉ trị của những biểu thức sau: 

a, A = (3x +2)(9x2 - 6x + 4) trên x =

 

b) B = (x + 1)(x7 - x6 + x5 - x4 + x3 - x2 + x - 1) trên x = 2

c) C = (x + 1)(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1) trên x = 2

d) D = 2x(10x2 - 5x - 2) - 5x(4x2 - 2x - 1) tại x = -5

Hướng dẫn giải: 

a, A = 9 

b, B = 255

c, C = 129

d, D = -5

Bài 8: chứng minh rằng giá chỉ trị của những biểu thức sau không dựa vào vào cực hiếm của biến x: 

a) A = (5x – 2)(x + 1) – (x – 3)(5x + 1) – 17(x + 3) 

b) B = (6x – 5)(x + 8) – (3x – 1)(2x + 3) – 9.(4x – 3) 

c) C = x(2x + 1) - x2(x + 2) + x3 - x + 3

d) D = (x + 1)(x2 - x + 1) - (x - 1)(x2 + x + 1) 

Hướng dẫn giải

a, A = -50 

b) B = -10

c) C = 3

d) D = 2

Bài 9: tìm kiếm x, biết: 

a) (x2 - 4x + 16)(x + 4) – x(x + 1)(x + 2) + 3x2 = 0

b) (8x + 2)(1 – 3x) + (6x – 1)(4x – 10) = -50

c, 3.(1 – 4x)(x – 1)+ 4(3x + 2)(x + 3) = 38

d) 5.(2x + 3)(x + 2) – 2(5x – 4)(x – 1) = 75 

Hướng dẫn giải: 

a, x = 32

b, x = 1

c, x =

 

d, x = 1

Bài 10: bệnh minh: 

a, (x + 2)(x – 2)(x2 + 4) = x2 - 16 

b, (x2 - xy + y2)(x + y) = x3 + y3 

Hướng dẫn giải: 

a, (x + 2)(x – 2)(x2 + 4) = x2 - 16 

Ta có: VT = (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)

= (x2 - 2x + 2x - 4)(x2 + 4)

= (x2 - 4)(x2 + 4)

= x4 - 4x2 + 4x2 - 16

= x4 - 16 = VP (đpcm)

b, (x2 - xy + y2)(x + y) = x3 + y3

Ta có:

VT = (x2 - xy + y2)(x + y)

= x3 + x2y - x2y - xy2 + xy2 + y3

= x3 + y3 = VP (đpcm)

Bài 11: Tìm bố số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của nhì số đầu là 52. 

Hướng dẫn giải: 

Gọi ba số từ bỏ nhiên thường xuyên lần lượt là: x, x + 1, x + 2 (x ∈ N ).

Xem thêm: Bố Cục Của Văn Tế - Hướng Dẫn Soạn Văn Tế Nghĩa Sĩ Cần Giuộc Ngắn Gọn

Ta bao gồm tích của hai số đầu là x.(x + 1)

Tích của nhị số sau là: (x + 1)(x + 2) 

Vì tích của nhì số sau to hơn tích của nhị số đầu là 52 đề nghị ta có: 

(x + 1)(x + 2) – x(x + 1) = 52

=> x2 + x + 2x + 2 - x2 = 52

⇔ 2x = 52

⇔ x = 26

Vậy bố số từ nhiên liên tiếp là: 26, 27, 28.

Bài 12: mang đến a cùng b là hai số trường đoản cú nhiên. Biết a phân tách cho 5 dư 1, b phân tách cho 5 dư 4. Minh chứng ab + 1 phân tách hết đến 5

Hướng dẫn giải: 

Ta bao gồm a chia cho 5 dư 1 đề xuất ta đặt a = 5x + 1 (x ∈ N)

Ta lại sở hữu b chia cho 5 dư 4 yêu cầu ta để b = 5y + 4 ( y ∈ N)

Ta có: 

ab + 1 = (5x +1)(5y + 4) + 1

= 25xy + 20x + 5y + 4 + 1

= 25xy + 20x + 5y + 5

= 5.(5xy +4x + y + 1) 5 (đpcm)

Bài 13: chứng tỏ 2n2(n + 1) - 2n(n2 + n - 3) phân tách hết mang đến 6 với đa số số nguyên n. 

Hướng dẫn giải: 

Ta có: 

2n2(n + 1) - 2n(n2 + n - 3)

= 2n3 + 2n2 - 2n3 - 2n2 + 6n

= 6n

 6 (đpcm)

Bài 14: minh chứng n(3 – 2n) – (n – 1)(1 + 4n) – 1 phân tách hết cho 6 với đa số số nguyên n