·Vectơ là 1 trong những đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ tất cả điểm đầu A, điểm cuối B là

*
.

Bạn đang xem: Các phép toán vectơ

·Giácủa vectơ là con đường thẳng cất vectơ đó.

·Độ dàicủa vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu cùng điểm cuối của vectơ, kí hiệu

*
.

·Vectơ – khônglà vectơ bao gồm điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu

*
.

·Hai vectơ đglcùng phươngnếu giá chỉ của chúng song song hoặc trùng nhau.

·Hai vectơ thuộc phương tất cả thểcùng hướnghoặcngược hướng.

·Hai vectơ đglbằng nhaunếu bọn chúng cùng hướng và tất cả cùng độ dài.

Chú ý:

+ Ta còn thực hiện kí hiệu

*
để màn trình diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ

*
cùng phương, thuộc hướng với đa số vectơ.

+ rất nhiều vectơ

*
đều bởi nhau.

2. Các phép toán

a. Tổng của nhì vectơ

·Qui tắc bố điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:

*
.

·Qui tắc hình bình hành: cùng với ABCD là hình bình hành, ta có:

*
.

·Tính chất:

*
;

*
;

*

b. Hiệu của hai vectơ

·Vectơ đốicủa

*
là vectơ
*
sao cho
*
. Kí hiệu vectơ đối của
*
là
*
.

·Vectơ đối của

*
là
*
.

·

*
.

Chú ý:

+ Điểm I là trung điểm đoạn trực tiếp AB

*

+ Điểm G là trung tâm tam giác ABC

*

c. Tích của vecto với một số

·Cho vectơ

*
và sốk∈R.
*
là một vectơ được khẳng định như sau:

+

*
cùng phía với
*
nếuk≠0,
*
ngược hướng với
*
nếuk k = 0hoặc
*
.

·Điều kiện nhằm hai vectơ cùng phương:

*
và
*
*
cùng phương
*
.

·Điều kiện bố điểm trực tiếp hàng: A, B, C thẳng hàng ∃k≠0:

*
.

·Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:Cho nhị vectơ không cùng phương

*
và
*
tuỳ ý. Lúc đó ∃!m, n∈R:
*
.

Chú ý:

·Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

+

*

+

*
(O tuỳ ý).

·Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là giữa trung tâm của tam giác ABC thì: +

*
+
*
(O tuỳ ý).

B – BÀI TẬP

Dạng 1: Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng

Chú ý: với nhị điểm rành mạch A, B ta có hai vectơ khác vectơ

*
là
*

Ví dụ 1:Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Gồm bao nhiêu vectơ không giống vectơ – không có điểm đầu với điểm cuối là các điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Có 10 cặp điểm khác biệt A,B, A,C, A,D, A,E, B,C, B,D, B,E, C,D, C,E, D,E. Vì vậy có trăng tròn vectơ khác

*

Ví dụ 2:Cho điểm A và vectơ

*
khác
*
. Tra cứu điểm M sao cho
*
cùng phương
*

Hướng dẫn giải:

GọiDlà giá chỉ của

*

Nếu

*
cùng phương
*
thì mặt đường thẳng AM//D

Do kia M thuộc mặt đường thẳngmđi qua A với //D

Ngược lại, đầy đủ điểm M thuôcmthì

*
cùng phương
*

Dạng 2: minh chứng hai vectơ bằng nhau

Ta có thể dùng một trong những cách sau:

+ áp dụng định nghĩa:

*

+Sử dụng tính chất của những hình. Giả dụ ABCD là hình bình hành thì

*
,… (hoặc viết ngược lại)

+ Nếu

*

Ví dụ 3:Cho tam giác ABC có D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Bệnh minh:

*

Hướng dẫn giải:

Cách 1: EF là đường trung bình củaDABC phải EF//CD,

EF=

*
BC=CD EF=CD
*
(1)

*
cùng hướng
*
(2)

Từ (1),(2) suy ra

*

Cách 2: minh chứng EFDC là hình bình hành

EF=

*
BC=CD cùng EF//CD EFDC là hình bình hành
*

Ví dụ 4:Cho hình bình hành ABCD. Nhì điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC với AD. Điểm I là giao điểm của AM với BN, K là giao điểm của DM cùng CN.

Chứng minh:

*

Hướng dẫn giải:

Ta tất cả MC//AN cùng MC=AN MACN là hình bình hành

*

Tương từ MCDN là hình bình hành đề nghị K là trung điểm

của MD

*
=
*
. Tứ giá chỉ IMKN là hình bình hành,

suy ra

*
=
*
*

Dạng 3: những phép toán vecto

Ví dụ 1:Cho hình bình hành ABCD.Hai điểm M với N theo thứ tự là trung điểm của BC cùng AD.

a) kiếm tìm tổng

*

b) chứng minh :

*

Hướng dẫn giải:

a) + Vì

*
nên ta có

*
=
*
=
*
=
*

+ Vì

*
nên ta có

*
=
*
=
*
=
*

+ Vì

*
nên ta có

*
=
*
=
*
, E là đỉnh của hình bình hành AMED.

b) vị tứ giác AMCN là hình bình hành phải ta có

*

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên

*

Vậy

*

Ví dụ 2:Cho đoạn thẳng AB cùng M là 1 trong những điểm vị trí đoạn AB làm sao để cho AM=

*
AB. Tìm k trong những đẳng thức sau:

*

Hướng dẫn giải:

a)

*
, vì
*
Þk=
*

b) k=–

*
c) k=–
*

Dạng 3: màn biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không thuộc phương

Ví dụ 1:ChoDABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F theo lần lượt là trung điểm của những cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD với EF. Đặt

*
. Hãy phân tích những vectơ
*
theo hai vectơ
*
.

Giải:Ta có

*

*

*

*

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC.Điểm M nằm tại cạnh BC làm thế nào cho MB= 2MC. Hãy đối chiếu vectơ

*
theo nhị vectơ
*
.

Hướng dẫn giải:

Ta có

*

mà

*

*

Dạng 4: chứng tỏ đẳng thức vecto

Ví dụ 1:Cho hình bình hành ABCD. Hội chứng minh:

*
.

Xem thêm: Learn How To Pronounce The 15 Vowel Sounds Of American English &Mdash; Pronuncian: American English Pronunciation

Hướng dẫn giải:

Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có

*

VT=

*
(đpcm)

Ví dụ 2:Chứng minh rằng nếu như G cùng G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC với A’B’C’ thì

*
.