Số phức và các dạng toán về số phức là trong số những nội dung mà nhiều các bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng và khá khó hiểu, một trong những phần nguyên nhân là họ đã thừa quen với số thực giữa những năm học trước.

Bạn đang xem: Bình phương của số phức


Vì vậy, ở nội dung bài viết này girbakalim.net sẽ hệ thống lại những dạng toán về số phức bên cạnh đó hướng dẫn biện pháp giải các dạng bài xích tập này. Trước lúc bắt tay vào giải các dạng bài tập số phức, chúng ta cũng cần nhớ các nội dung về kim chỉ nan số phức.

I. Triết lý về Số phức

1. Số phức là gì?

• Định nghĩa số phức

- Tập phù hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị chức năng ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
, 
*

2. Màn biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: , () được biểu diễn bởi điểm M(a,b) giỏi bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- cho 2 số phức: , lúc đó:

♦

*
*

♦

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- đến 2 số phức: , khi đó:

♦

*
 
*

♦

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
; 
*
; 
*
; 
*
; 
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân chia số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- cho số phức: , thì:

♦

*

♦ 

*
; 
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 tất cả đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 bao gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- mang lại phương trình bậc 2 số phức bao gồm dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức đến trước, A≠0).

- khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là 1 trong nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là một trong acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác

- mang đến z = r(cosφ + isinφ) và z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

•

*

12. Bí quyết Moivre (Moa-vrơ).

•

*
, 
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm n căn bậc n là:

 

*
, 
*

II. Những dạng toán về Số phức và biện pháp giải

• Dạng 1: những phép tính về số phức

* phương thức giải: Vận dụng những công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và đặc thù phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi tính toán các số thức hoàn toàn có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng xuất xắc hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: mang lại số phức 

*
 Tính những số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân cùng với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ bỏ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

• Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* phương pháp giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép chuyển đổi để giải quyết bài toán.

° lấy ví dụ như 1: search số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức phải tìm là 1 + i cùng 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

• Dạng 3: khẳng định phần thực phần ảo, search đối số, nghịch đảo module, phối hợp của số phức và biểu diễn hình học tập của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia thành nhiều loại bài toán liên quan tới tính chất của số phức.

♦ nhiều loại 1: kiếm tìm phần thực phần ảo của số phức

- biện pháp giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đang cho tất cả phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho tất cả phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đang cho tất cả phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ một số loại 2: màn trình diễn hình học của số phức

- bí quyết giải: thực hiện điểm M(a;b) biểu diễn số phức z xung quanh phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong phương diện phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được trình diễn bởi điểm nào trong những điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức như thế nào có màn trình diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ nhiều loại 3: Tính Module của số phức

- bí quyết giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: kiếm tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- bao gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ loại 4: search số đối của số phức

- giải pháp giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ loại 5: tìm số phức phối hợp của số phức z

- phương pháp giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
, 
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được những nghiệm

*

♦ loại 6: tìm kiếm số phức nghịch đảo của số phức

- bí quyết giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
, 
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

♦ Loại 7: Tìm các số thực lúc 2 số phức bởi nhau.

- bí quyết giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x cùng y làm sao cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

• Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn đk cho trước.

* phương pháp giải:

♦ nhiều loại 1: Số phức z thỏa mãn về độ lâu năm (module) khi ấy ta áp dụng công thức 

♦ các loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta thực hiện kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 với b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập phù hợp điểm M màn trình diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài ra,

 

*

- cùng với x ≠ 0 cùng y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập phù hợp điểm M là đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) gọi N là vấn đề biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy vậy với Ox

- Vậy quỹ tích của M là con đường thẳng qua N và tuy vậy song cùng với Ox, chính là đường thẳng y = -3.

c) hotline I là vấn đề biểu diễn của số phức 

*

- lúc đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là đường tròn trọng điểm I(1;-2) bán kính R = 1.

• Dạng 5: Chứng minh những biểu thức về số phức

* phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Triệu chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, tự (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 với z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- phương diện khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- từ bỏ (1) cùng (2) tất cả VT=VP (đpcm)

• Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức cùng phương trình bậc 2

* phương thức giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z trường hợp w2 = z xuất xắc (x + yi)2 = a + bi.

- lưu giữ ý:

♦ lúc b = 0 thì z = a, ta tất cả 2 trường hợp đơn giản sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, giỏi x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với thông số phức

- Là phương trình tất cả dạng: az2 + bz + c = 0, trong số đó a, b, c là những số phức a≠0

- cách giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình gồm nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: điện thoại tư vấn z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên bao gồm 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, search m nhằm phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- hotline m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài bác toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta bao gồm hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình tất cả 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình sẽ cho bao gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

• Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương thức giải: Đặt ẩn phụ và mang lại phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- thừa nhận thấy, z=0 không hẳn nghiệm của phương trình phải chia 2 vế đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- cùng với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) gồm 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải những phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận ra z=0 không phải là nghiệm của phương trình phải chia 2 vế pt cho z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc đó pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
; 
*

• Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức căn cơ cho hàng loạt công thức quan trọng đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, phương pháp Euler.

- bí quyết 1: 

*

- bí quyết 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được gọi là argument của z ký hiệu là arg(z). Trái lại với phép luỹ quá ta gồm phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ kia hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
; 
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính giá trị của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình sẽ cho có 2 nghiệm: 

*

- mặt khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã cho trở thành: 

*

 

*
 (*)

- bởi z=-1 không hẳn là nghiệm của phương trình đề xuất nhân 2 vế (*) cùng với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không sở hữu và nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đang cho tất cả nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

• Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* phương thức giải: Vận dụng kiến thức tìm rất trị

° lấy ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z gồm modul nhỏ tuổi nhất.

Xem thêm: Phân Tích Nhân Vật Mị Trong Tác Phẩm Vợ Chồng A Phủ " Của Tô Hoài

* Lời giải:

- Đặt 

*
, khi đó 
*

*
. Vì vậy các điểm M màn trình diễn số phức z thoả mãn việc nằm trê tuyến phố tròn trung tâm I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất khi và chỉ khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Lúc ấy M là giao điểm của (C) và con đường thẳng OI, cùng với M là giao điểm ngay sát O hơn và 

*