Bất đẳng thức Côsi là giữa những bất đẳng thức cổ điển. Tên và đúng là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, không ít người dân gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean). Vày nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), bạn đã giới thiệu một bí quyết chừng mình rực rỡ nên nhiều người hay điện thoại tư vấn là bất đẳng thức Cauchy.

Bạn đang xem: Biểu thức cosi

Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và rất trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, bọn họ quan trung tâm đến các trường thích hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.

1. Những dạng màn trình diễn của bất đẳng thức Cosi

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

*


Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

*

b) các bất đẳng thức côsi quánh biệt

*


c) một số trong những bất đẳng thức được suy ra trường đoản cú bất đẳng thức Cauchy

*

d) để ý khi thực hiện bất đẳng thức AM – GM

Khi áp dụng bất đẳng thức cô si thì những số phải là rất nhiều số ko âmBất đẳng thức côsi thường được vận dụng khi trong BĐT cần minh chứng có tổng cùng tíchĐiều kiện xẩy ra dấu ‘=’ là những số bằng nhauBất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường tốt sử dụng

Đối với hai số:


$x^2,,+,y^2,,ge ,,2xy$.$,x^2,,+,y^2,,ge ,,frac(x,+,y)^22$$,xyle ,,left( fracx+y2 ight)^2$

Đối với cha số: $abcle fraca^3+b^3+c^33,,,abcle left( fraca+b+c3 ight)^3$

2. Những dạng bài bác tập

Dạng 1: vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ: mang đến a, b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2. Chứng tỏ rằng $left( a+b ight)^5ge 16absqrtleft( 1+a^2 ight)left( 1+b^2 ight)$

Lời giải

*

Dạng 2: kinh nghiệm tách, thêm bớt, ghép cặp

Để chứng minh BĐT ta hay phải thay đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo nên biểu thức có thể giản mong được sau thời điểm áp dụng BĐT côsi.Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta hay đi chứng tỏ x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng những BĐT giống như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều đề xuất chứng minh.Khi tách bóc và áp dụng BĐT côsi ta nhờ vào việc bảo đảm dấu bởi xảy ra(thường vệt bằng xẩy ra khi những biến cân nhau hoặc trên biên).

Ví dụ: mang lại a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)


Lời giải

*

Dạng 3: kĩ thuật tham số hóa

Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để bóc ghép mang đến hợp lí) bọn họ cần gửi tham số vào rồi chọn sau sao để cho dấu bằng xảy ra.

Ví dụ: cho a, b, c là số dương thỏa mãn nhu cầu 2a + 4b + 3c2 = 68. Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của A = a2 + b2 + c3.

Xem thêm: Yêu Là Chết Ở Trong Lòng Một Ít Vì Mấy Khi Yêu Mà Chắc Được Yêu

Phân tích

*

Lời giải

Áp dụng Bất đẳng thức côsi ta có

*

Dạng 4: kĩ thuật bất đẳng thức côsi ngược dấu

Ví dụ: cho a, b, c là những số thực không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.