Phương trình lôgarit là phương trình bao gồm chứa ẩn số trong biểu thức dưới vết lôgarit.

Bạn đang xem: Bài tập về logarit cơ bản

2. Phương trình lôgarit cơ bản

• loga x = b ⇔ x = ab (0 a f(x) = loga g(x) 

*

3. Các bước giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về thuộc cơ số

* bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* bước 2. Thực hiện định nghĩa cùng các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số.

* cách 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ phiên bản đã biết cách giải.

* cách 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ 1: Tính các giá trị sau: 

*

Lời giải

*

Ví dụ 2:

*

Lời giải

*

Ví dụ 3: Giải phương trình

*

Lời giải

*

Tập nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng 1;2.

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa


Phương trình loga=logb (với a>0;a≠1)

Ta đặt loga=logb=t

*

Khử x vào hệ phương trình để thu được phương trình ẩn t, giải pt này search t, từ đó tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) log3(x+1)=log2x. 

b) log5x=log7(x+2).

Lời giải

*

Ví dụ 2:

Giải những phương trình sau:

*

Lời giải:

*

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f = 0 (0 ag(x) (*).

• cách 2: Tìm đk của t (nếu có).

• cách 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết phương pháp giải.

•Bước 4: nuốm vào (*) nhằm tìm x.

Một số chú ý quan trọng khi biến đổi

1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

*
*
*

Ví dụ 3:Giải phương trình

*

Lời giải:

*

Dạng 4: áp dụng tính đối chọi điệu để giải phương trình logarit 

Giả sử phương trình bao gồm dạng f(x) = g(x) (*)

• bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

• bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C1) với y = g(x)(C2). Ta cần minh chứng một hàm đồng biến và một hàm nghịch phát triển thành hoặc một hàm solo điệu với một hàm ko đổi. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Hoặc gửi phương trình về dạng f(x) = 0

• bước 1: Nhẩm được nhị nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn nghiệm lân cận 0).

• cách 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần minh chứng f"(x) = 0 bao gồm nghiệm duy nhất cùng f"(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ phía trên suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Hoặc:

• bước 1: biến hóa phương trình về dạng f(u) = f(v) .

• bước 2: chứng minh hàm f(x)là hàm 1-1 điệu, suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Lời giải

*

Phương trình bao gồm một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f"(x) > 0, buộc phải f(x) đồng đổi mới trên tập xác minh ;g(x)=2là hàm hằng. Phải phương trình sẽ cho gồm một nghiệm nhất x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Lời giải

*

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng thay đổi trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch thay đổi trên tập xác định. Phải phương trình vẫn cho gồm một nghiệm tốt nhất x = 4.

Ví dụ 3:

Giải phương trình

*

Lời giải

*

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t gồm f"(t) > 0 buộc phải hàm số đồng trở thành trên tập xác định. Lúc đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

*

Nên phương trình sẽ cho bao gồm tập nghiệm là 1;2

Dạng 5: cách giải phương trình logarit đựng tham số

♦ Dạng toán tìm kiếm m nhằm phương trình gồm số nghiệm mang lại trước:

• bước 1. Bóc m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=A(m).

• cách 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

• bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

• cách 4. Kết luận những giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc gồm k nghiệm) trên D.

♦ lưu giữ ý

• Nếu hàm số y=f(x) có giá trị lớn số 1 và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

*

• Nếu bài toán yêu thương cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định làm sao để cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng đk có nghiệm của phương trình bậc hai với lưu ý sau.

♦ kể lại: Phương trình bậc hai gồm hai nghiệm thỏa mãn

*

Hoặc sử dụng định lí hòn đảo về lốt tam thức bậc hai:

*

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tham số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m = 0 gồm nghiệm.

Lời giải

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Lúc đó phương trình trở nên t2+t+m=0 (*)

Phương trình vẫn cho có nghiệm lúc phương trình (*) tất cả nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Xem thêm: Giáo Án Sinh 9 Theo Định Hướng Phát Triển Năng Lực, Giáo Án Phát Triển Năng Lực Sinh Học 9

Ví dụ 2: Tìm thông số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.