Bài tập về giới hạn hàm số

Giới hạn hàm số hay thường call là số lượng giới hạn của hàm số – Là kiến thức quan trọng của toán 11 thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần nắm rõ lý thuyết, biết cách vận dụng linh hoạt những dạng vào giải bài xích tập.

Bạn đang xem: Bài tập về giới hạn hàm số

1. Triết lý giới hạn hàm số

1.1 số lượng giới hạn của hàm số trên một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): trả sử (a; b) là 1 trong những khoảng đựng điểm x0 và y = f (x) là 1 hàm số xác minh trên một khoảng tầm (a; b), rất có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L khi x dần mang đến x0 (hoặc trên điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập đúng theo (a; b) x0 mà lại lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f (xn) = L lúc đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L$ = L hoặc f (x) → L lúc x → x0

Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

$mathop lim limits_x o x_0 c$ = c, cùng với c là hằng số.Nếu hàm số f (x) khẳng định tại điểm x0 thì $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): đưa sử (a; b) là 1 khoảng đựng điểm x0 và y = f (x) là 1 hàm số khẳng định trên một khoảng tầm (a; b), có thể trừ tại 1 điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là vô rất khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với tất cả dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) x0 nhưng lim xn = x0

ta đều phải sở hữu limf(xn)= ±∞

Khi đó ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0

1.2 số lượng giới hạn của hàm số trên vô cực

Định nghĩa 3. Trả sử hàm số y = f (x) khẳng định trên khoảng tầm (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số thực L khi x dần mang lại +∞ nếu với đa số dãy số (xn) trong tập thích hợp (a; +∞) nhưng mà lim xn = +∞

ta đều phải có lim f (xn) = L

1.3 một số trong những định lý về số lượng giới hạn hữu hạn

Sau đấy là 3 định lý quan trọng đặc biệt về giới hạn hữu hạn hàm số

1.4 số lượng giới hạn một bên

Đề tìm số lượng giới hạn bên bắt buộc hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta dựa vào lý thuyết đặc biệt sau

1.5 một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Sau đấy là 2 Quy tắc quan trọng đặc biệt đề tìm số lượng giới hạn vô cực bạn cần nhớ

1.6 những dạng vô định

2. Phân dạng số lượng giới hạn hàm số

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm kiếm giới hạn

Sử dụng những định nghĩa 1, khái niệm 2, tư tưởng 3.

Bài tập 1. sử dụng định nghĩa số lượng giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $mathop lim limits_x o + infty frac2x – 1$

Lời giải

Dạng 2. Chứng tỏ rằng $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ không tồn tại

Ta tiến hành theo quá trình sau:

Bài tập 2: Tìm giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop lim limits_x o + infty left( cos x ight)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Lựa chọn hai hàng số xn với yn với:

Dạng 3. Những định lí về giới hạn và số lượng giới hạn cơ bạn dạng để tìm giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số buộc phải tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của rất nhiều hàm số mà ta đang biết giới hạn.

Xem thêm: Factoring Là Gì - Bao Thanh Toán Là Gì

Ta có hiệu quả sau:

Cách 2: Sử dụng nguyên tắc kẹp giữa, cụ thể Giả sử đề nghị tính giới hạn hàm số $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ hoặc $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight)$

ta thực hiện quá trình sau:

Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$

Lời giải

$mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có mức giá trị f(x)Với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ bao gồm f(x0) ≠ 0 và g(x0) = 0 thì giới hạn của nó lúc x → x0 có mức giá trị bởi ∞.Trong trường hợp với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ có f(x0) = 0 (tức có dạng $frac00$)Chúng ta cần sử dụng những phép biến đổi đại số nhằm khử dạng $frac00$, và thường thì là làm lộ diện nhân tử phổ biến (x − x0)

Dạng 4. Tính giới hạn một mặt của hàm số

Sử dụng những định lí với để ý sau:

x → $x_0^ + $; được gọi là x → x0 cùng x > x0 ( khi ấy |x − x0| = x − x0 ).x → $x_0^ – $; được gọi là x → x0 cùng x 0 ( khi đó |x − x0| = x0 − x)

Bài tập 4: Tìm những giới hạn một bên của các giới hạn sau:

a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracleftx – 2$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracleftx – 2$

Lời giải

a) $mathop lim limits_x o 2^ + frac 3x – 6 ightx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + frac3x – 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + 3 = 3$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – frac 3x – 6 ightx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ – frac – 3x + 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + left( – 3 ight) = – 3$

Nhận xét: Vậy, nếu như hàm số f(x) không xác minh tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không không giống so với số lượng giới hạn tại x0

Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

Bài tập 5. đến hàm số

Tính $mathop lim limits_x o 0^ – fleft( x ight)$ cùng $mathop lim limits_x o 0^ + fleft( x ight)$

Lời giải

Dạng 6. Một vài ba qui tắc tính số lượng giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac00$

Bản hóa học của việc khử dạng không khẳng định $frac00$ là làm xuất hiện thêm nhân tử chung để:

Hoặc là khử nhân tử chung để lấy về dạng xác địnhHoặc là chuyển đổi về dạng số lượng giới hạn cơ bản, rất gần gũi đã biết kết quả hoặc biết cách giả

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

a) Đối với dạng 0.∞ và ∞0 ta chọn một trong hai bí quyết sau

Cách 1: sử dụng phương pháp chuyển đổi để tận dụng những dạng số lượng giới hạn cơ bản

Cách 2: thực hiện nguyên lí kẹp giữa với những bước

b) Đối cùng với dạng 1∞ nên nhớ những giới hạn cơ bản sau $mathop lim limits_x o 0 left( 1 + x ight)^frac1x = e$, $mathop lim limits_x o infty left( 1 + frac1x ight)^x = e$

Trên trên đây là nội dung bài viết chia sẻ bí quyết tìm giới hạn hàm số và những dạng bài tập thường xuyên gặp. Bài xích tới ta đã học về hàm số liên tục, mới các bạn đón xem.

Mọi thắc mắc bạn phấn kích để lại bình luận bên dưới để Toán học tập giải đáp chi tiết hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả