6. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Không tồn tại giới hạn kép, nhưng tồn tại giới hạn lặp
Xét ví dụ 2 ở mục 4.
Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm nhiều biến có lời giải
Ta có:
Ví dụ 2: Các giới hạn lặp tồn tại nhưng khác nhau
Ta xét hàm số
Khi đó:
Ví dụ 3: Tồn tại giới hạn kép, nhưng không tồn tại giới hạn lặp
7. Liên tục:
Hàm số f(x; y) được gọi là liên tục tại
1. f(x; y) xác định tại
2. Tồn tại
3.
Hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền xác định Df
Nhận xét: Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là một hàm liên tục, thương của hai hàm liên tục là một hàm liên tục (nếu hàm ở mẫu số khác không).
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tính giới hạn của hàm số:
Ta chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn.
Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường cong parabol :
Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.
Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)
Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:
Nhưng:
Còn:
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn
Bài 2: Tìm giới hạn của hàm số:
Cách 1: Thật vậy: xét dãy điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng :
Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc vào hằng số k, nên với các giá trị k khác nhau ta sẽ có các giá trị giới hạn khác nhau.
Vậy: hàm số đã cho không có giới hạn tại điểm (0; 0)
Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:
Nhưng:
Còn:
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.
Cách 3: Chuyển hàm số đã cho về tọa độ cực ta có: x = r.cosφ ; y = r.sinφ. Và khi (x; y) → (0;0) thì r → 0.
Khi đó ta có:
Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào góc quay φ, nên giá trị giới hạn sẽ thay đổi khi φ thay đổi.
Xem thêm: Thế Nào Là Lạt Mềm Buộc Chặt Trong Tình Yêu, Bust/Waist/Hip Measurements
Bài 3: Tìm giới hạn của hàm số:
Bài này chỉ khác bài trên ở chỗ tử số có thêm x. Tuy nhiên, kết quả bài toán này hoàn toàn thay đổi. ta sẽ chứng minh giới hạn hàm số sẽ bằng 0 khi (x;y) → (0; 0)
Thật vậy: ta có:
Mà
Vậy theo định lý giới hạn kẹp ta có được giới hạn hàm số bằng 0 khi (x; y) → (0;0)
Việc ta tìm cách tính giới hạn bằng cách sử dụng định lý kẹp cho bài trên xuất phát từ việc ta chuyển hàm số về tọa độ cực thì giá trị giới hạn của hàm số luôn bằng 0 khi tiến về 0, với mọi giá trị φ. Chính điều này, là điều kiện cần (nhưng không đủ) giúp cho ta biết được giá trị giới hạn hàm số là tồn tại và bằng o.
Bài 4: Tìm giới hạn của hàm số:
Các bạn có thể chứng minh bài toán này không có giới hạn bằng cách chuyển về tọa độ cực, hoặc xét dãy điểm tiến về (0;0) theo đường tròn:
