Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài xích giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

6. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Không tồn tại giới hạn kép, tuy nhiên tồn tại số lượng giới hạn lặp

Xét ví dụ như 2 ở mục 4.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm nhiều biến có lời giải

Ta có:

*

Ví dụ 2: Các giới hạn lặp tồn tại mà lại khác nhau

Ta xét hàm số

*

Khi đó:

*
,
*

Ví dụ 3: Tồn tại số lượng giới hạn kép, tuy thế không tồn tại số lượng giới hạn lặp

*
mà lại không lâu dài
*

7. Liên tục:

Hàm số f(x; y) được điện thoại tư vấn là liên tục tại

*
nếu:

1. F(x; y) khẳng định tại

*

2. Trường tồn

*

3.

*

Hàm số được điện thoại tư vấn là liên tục nếu nó liên tục tại đa số điểm của miền khẳng định Df

Nhận xét: Tổng, hiệu, tích của hai hàm thường xuyên là một hàm liên tục, thương của hai hàm thường xuyên là một hàm liên tiếp (nếu hàm ở mẫu số không giống không).

bài bác tập giải mẫu:

Bài 1: Tính số lượng giới hạn của hàm số:

*

Ta chứng minh hàm số ko tồn trên giới hạn.

Cách 1: Thật vậy: xét hàng điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo con đường cong parabol :

*
(k – hằng số). Ta có :

*

Do đó, số lượng giới hạn hàm số phụ thuộc vào vào hằng số k, bắt buộc với các giá trị k khác nhau ta sẽ có được các giá trị số lượng giới hạn khác nhau.

Vậy: hàm số sẽ cho không tồn tại giới hạn trên điểm (0; 0)

Cách 2: Xét hai dãy điểm sau:

*
*

Nhưng:

*

Còn:

*

Vậy hàm số sẽ cho không có giới hạn

Bài 2: Tìm số lượng giới hạn của hàm số:

*

Cách 1: Thật vậy: xét hàng điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo con đường thẳng :

*
(k – hằng số). Ta gồm :

*
0) " class="latex" />

Do đó, số lượng giới hạn hàm số phụ thuộc vào vào hằng số k, đề xuất với những giá trị k khác nhau ta sẽ sở hữu được các giá chỉ trị giới hạn khác nhau.

Vậy: hàm số đã cho không tồn tại giới hạn tại điểm (0; 0)

Cách 2: Xét hai hàng điểm sau:

*
cùng
*

Nhưng:

*

Còn:

*

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 3: đưa hàm số đã cho về tọa độ rất ta có: x = r.cosφ ; y = r.sinφ. Với khi (x; y) → (0;0) thì r → 0.

Khi kia ta có:

*

Vậy cực hiếm giới hạn nhờ vào vào góc xoay φ, đề xuất giá trị giới hạn sẽ biến đổi khi φ vắt đổi.

Xem thêm: Thế Nào Là Lạt Mềm Buộc Chặt Trong Tình Yêu, Bust/Waist/Hip Measurements

Bài 3: Tìm giới hạn của hàm số:

*

Bài này chỉ khác bài trên tại đoạn tử số có thêm x. Tuy nhiên, hiệu quả bài toán này hoàn toàn thay đổi. Ta sẽ chứng minh giới hạn hàm số sẽ bằng 0 lúc (x;y) → (0; 0)

Thật vậy: ta có:

*

*

Vậy theo định lý giới hạn kẹp ta đã đạt được giới hạn hàm số bằng 0 lúc (x; y) → (0;0)

Việc ta tìm phương pháp tính giới hạn bằng phương pháp sử dụng định lý kẹp cho bài trên xuất phát từ những việc ta chuyển hàm số về tọa độ cực thì giá trị giới hạn của hàm số luôn bằng 0 khi tiến về 0, với đa số giá trị φ. Bao gồm điều này, là điều kiện cần (nhưng không đủ) giúp cho ta biết giá tốt trị giới hạn hàm số là sống thọ và bởi o.

Bài 4: Tìm số lượng giới hạn của hàm số:

*

Các chúng ta có thể chứng minh vấn đề này không có giới hạn bằng cách chuyển về tọa độ cực, hoặc xét hàng điểm tiến về (0;0) theo con đường tròn:

*
(k – hằng số) (xuất phát từ các việc trong hàm số gồm chứa
*
bắt buộc ta tạo ra đường tròn trải qua gốc tọa độ), hoặc bạn cũng có thể xét 2 dãy điểm khác biệt cùng tiến về (0; 0) là:
*