Áp Dụng Mệnh Đề Vào Suy Luận Toán Học

P(x) là điều kiện đầy đủ  để gồm Q(x)

Q(x) là điều khiếu nại cần đề tất cả P(x)

Lúc đó (1) được hotline là định lí thuận và khi đó rất có thể gộp lại thành một định lí <""forall xin X,Q(x)Leftrightarrow P(x)"">, ta gọi là P(x) là điều kiện phải và đủ để sở hữu Q(x).

Ngoài ra còn nói “P(x) nếu còn chỉ nếu Q(x)”, “P(x) khi và chỉ còn khi Q(x)”.

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Lời giải

Giả sử n không phân tách hết mang lại 3 lúc đó n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2, k

Với n = 3k + 1 ta có n3 = (3k +1)3 = 27k3 + 27k2 + 9k + 1 không phân tách hết cho 3 (mâu thuẫn)

Với n = 3k + 2 ta bao gồm n3 = (3k +2)3 = 27k3 + 54k2 + 36k + 4không phân chia hết mang đến 3 (mâu thuẫn)

Vậy n chia hết cho 3.

Lời giải

Ta có .

Giả sử phương trình đã mang đến vô nghiệm, tức thị Δ

Khi đó t bao gồm 0,forall xin mathbbR>

Suy ra không tồn trên sao đến a.f() ≤ 0, trái với mang thiết.

Vậy điều ta mang sử nghỉ ngơi trên là sai, giỏi phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm.

Lời giải

Giả sử tam giác ABC gồm AH vừa là con đường trung đường vừa là con đường phân giác cùng không cân nặng tại A.

Không mất tính bao quát xem như AC > AB Trên AC lấy D làm sao cho AB = AD. Gọi L là giao điểm của BD cùng AH. Khi đó AB = AD, và AL chung buộc phải ΔABL = ΔADL Do đó AL = LD tốt L là trung điểm của BD Suy ra LH là mặt đường trung bình của ΔCBD LH//DC điều này xích míc vì LH, DC giảm nhau tại A Vậy tam giác ABC cân nặng tại A.

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.12: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: nếu như phương trình bậc nhị : ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì a với c thuộc dấu.

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình vô nghiệm với a, c trái vệt . Với điều kiện a, c trái dấu ta có a.c 2 – 4ac = b2 + 4(-ac) > 0

Nên phương trình bao gồm hai nghiệm phân biệt, điều này xích míc với đưa thiết phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm thì a, c nên cùng dấu.

Bài 1.13: Chứng minh bằng cách thức phản chứng: nếu hai số nguyên dương tất cả tổng bình phương phân chia hết mang lại 3 thì cả nhì số đó cần chia hết mang lại 3.

Hướng dẫn giải

Giả sử trong nhị số nguyên dương a với b bao gồm ít nhất một số không chia hết mang lại 3, chẳng hạn a không phân chia hết mang lại 3. Nắm thì a gồm dạng a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2. Lúc đó a2 = 3m + 2, đề nghị nếu b phân chia hết mang đến 3 hoặc b không chia hết cho 3 thì a2 + b2 cũng đều có dạng 3n + 1 hoặc 3n + 2, tức là a2 + b2 không phân tách hết đến 3, trái trả thiết. Vậy giả dụ a2 + b2 chia hết mang lại 3 thì cả a và b phần lớn chia hết mang lại 3.

Bài 1.14: Chứng minh rằng: trường hợp độ dài các cạnh của tam giác vừa lòng bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là dộ lâu năm cạnh nhỏ tuổi nhất của tam giác.

Hướng dẫn giải

Giả sử c chưa phải là cạnh nhỏ nhất của tam giác.

Không mất tính tổng quát, đưa sử a ≤ c a2 ≤ c2 (1)

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có, b 2 2 (2).

Do a ≤ c ( a +c)2 ≤ 4c2 (3)

Từ (2) và (3) suy ra b2 ≤ 4c2  (4)

Cộng vế với vế (1) và (4) ta có a2 + b2 ≤ 5c2 xích míc với trả thiết

Vậy c là cạnh nhỏ dại nhất của tam giác.

Bài 1.15:  Cho a, b, c dương bé dại hơn 1. Chứng tỏ rằng ít nhất 1 trong các ba bất đẳng thức sau không đúng frac14>, frac14>,frac14>

Hướng dẫn giải

Giả sử cả cha bất đẳng thức gần như đúng.

Khi đó, nhân vế theo vế của những bất đẳng thức trên ta được:

left( frac14 ight)^3>hay frac164>(*)

Mặt không giống

Do 0

Tương từ thì

Nhân vế theo vế ta được (**)

Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn với (*)

Vậy tất cả ít nhất một trong các ba bất đẳng thức đã chỉ ra rằng sai. (đpcm)

Bài 1.16: Nếu a1a1 ≥ 2 (b1 + b2) thì không nhiều nhất 1 trong những hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = 0 tất cả nghiệm.

Hướng dẫn giải

Giả sử cả nhì phương trình bên trên vô nghiệm

Khi đó D­1 = a12 – 4b1 2 = a22 – 4b2

a12 – 4b1 + a22 – 4b2 12 + a22 1 + b2) (1)

Mà (a1 + a2)2 ≥ 0 a12 + a22 ≥ 2a1a2 (2)

Từ (1) với (2) suy ra 2a1a2 1 + b2) hay a1a2 1 + b2) trái mang thiết

Vậy phải tất cả ít nhất 1 trong các hai sô Δ1, Δ2 to hơn 0 cho nên vì vậy ít nhất 1 trong các 2 phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = 0 tất cả nghiệm.

Bài 1.17: Chứng minh rằng là số vô tỉ.

Hướng dẫn giải

Dễ dàng chứng tỏ được nếu như n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

Giả sử là số hữu tỉ, có nghĩa là , trong số đó m, n , (m, n) = 1

Từ m2 = 2n2m2 là số chẵn

m là số chẵn m = 2k, k

Từ mét vuông = 2n24k2 = 2n2 n2 = 2k2n2 là số chẵn n là số chẵn

Do kia m chẵn, n chẵn xích míc với (m, n) = 1.

Vậy là số vô tỉ.

Bài 1.18: Cho các số a, b, c thỏa mãn nhu cầu các điều kiện: 

a+b+c>0(1)

ab+bc+ca>0(2)

abc>0(3) 

Chứng minh rằng cả bố số a, b, c hầu như dương.

Hướng dẫn giải

Giả sử cả cha số a, b, c không đôi khi là số dương. Vậy tất cả ít nhất một vài không dương.

Do a, b, c tất cả vai trò bình đẳng phải ta có thể giả sử a: ≤ 0

+ nếu a = 0 xích míc với (3)

+ giả dụ a

Ta có (2) a(b +c) > -bc a(b +c) > 0

b + c

Vậy cả cha số a, b, c rất nhiều dương.

Bài 1.19: Chứng minh bởi phản triệu chứng định lí sau: “Nếu tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF bằng nhau thì tam giác ABC cân”.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác BCE với CBF, ta thấy: BC chung, BE = CF, BF > CE cần widehatB_1Rightarrow widehatC>widehatB>. Mâu thuẫn Trường hợp widehatB>, chứng minh hoàn toàn tương tự như như trên. Do kia . Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 1.20: Cho 7 đoạn thẳng gồm độ dài to hơn 10 và nhỏ dại hơn 100. Chứng tỏ rằng luôn tìm kiếm được 3 đoạn để rất có thể ghép thành một tam giác.

Hướng dẫn giải

Trước hết sắp đến xếp những đoạn đã mang lại theo thiết bị tự tăng cao của độ dài a1, a2,…,a7 và minh chứng rằng trong hàng đã thu xếp luôn kiếm được 3 đoạn liên tiếp làm thế nào để cho tổng của 2 đoạn đầu hớn hơn đoạn cuối (vì điều kiện để 3 đoạn rất có thể ghép thành một tam giác là tổng của nhị đoạn to hơn đoạn đồ vật 3).

Giả sử đk cần minh chứng là không xảy ra, nghĩa là mặt khác xảy ra những bất đẳng thức sau: a1 + a2 ≤ a3; a2 + a3 ≤ a4;…; a5 + a6 ≤ a7.

Từ giả thiết a1, a2 có giá trị to hơn 10, ta cảm nhận a3 > 20. Trường đoản cú a2 >10 cùng a3 > đôi mươi ta cảm nhận a4  >30, a5 > 50, a6  > 80 cùng a7 > 130. Điều a7 > 130 là xích míc với trả thiết các độ dài bé dại hơn 100. Có mâu thuẫn này là vì giả sử điều cần minh chứng không xảy ra.

Vậy, luôn tồn trên 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu hớn rộng đoạn cuối. Hay nói theo một cách khác là 3 đoạn này hoàn toàn có thể ghép thành một tam giác.

& 1. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Lời giải

Điều kiện nên và đủ để n phân chia hết cho 5 là n5 chia hết mang đến 5.

Lời giải

Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bởi nhau.

Số nguyên dương phân tách hết mang đến 3 là đk cần nhằm nó phân chia hết mang đến 6

Hình thang cân là điều kiện cần nhằm nó có hai đường chéo bằng nhau

Tam giác ABC bao gồm AB2 = BC.AH là điều kiện cần để nó vuông trên A và AH là đường cao.

& 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1.21: Phát biểu các định lí sau đây bằng cách sử dụng tư tưởng “Điều khiếu nại cần” và “Điều kiện đủ”

Hướng dẫn giải

Trong khía cạnh phẳng, hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song cùng nhau là điều kiện cần để hai tuyến đường thẳng đó cùng vuông góc với con đường thẳng thứ 3.

Số nguyên dương chia hết đến 5 là đk cần để sở hữu chữ số tận cùng là 5.

Tứ giác tất cả hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần nhằm nó là hình thoi.

Hai tam giác có những góc tương xứng bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau.

Số nguyên dương a phân tách hết đến 4 với 6 là điều kiện cần để nó chia hết mang đến 24.

Bài 1.22: Dùng thuật ngữ đk cần và đủ nhằm phát biểu các thuật ngữ sau